Aufgabe 3086
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenblumen – 2121. Aufgabe 2_121
Teil a
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten stehende Abbildung.)
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \frac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 21 \cr & g\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c{\text{ mit 21}} \leqslant {\text{t}} \leqslant {\text{42}} \cr} \)
- t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
- f(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
- g(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c der Funktion g.
[0 / ½ / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie den nachstehenden Term im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zugehörigen Einheit.
\(\dfrac{{g\left( {{t_2}} \right) - f\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)
Es gilt: t1 = 2 Tage, t2 = 42 Tage
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
In das vorgesehene Kästchen ist jener Funktionswert einzutragen, der sich an der Stelle t=0 ergibt:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5 \cr & f\left( {t = 0} \right) = \dfrac{1}{{15}} \cdot {0^2} + 0,2 \cdot 0 + 5 = 5 \cr} \)
→ Der gesuchte Wert auf der y-Achse beträgt 5
2. Teilaufgabe:
Wir sollen die 3 Koeffizienten a, b und c berechnen, dafür benötigen wir 3 Gleichungen, die für die Gleichung g gelten.
- Wir kennen zwei Argumente (21, 42) samt den zugehörigen Funktionswerten (38,6 und 72,2).
- Den Punkt (0|5) können wir nicht verwenden, denn dieser Punkt liegt auf der Funktion f und nicht auf der Funktion g. Aber:
- Die Graphen der beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. Das bedeutet, dass deren 1. Ableitungen im Punkt P gleich sein müssen, bzw. dass die beiden Tangenten die gleiche Steigung haben.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 21 \cr & f'\left( t \right) = 2 \cdot \dfrac{1}{{15}} \cdot t + 0,2 \cr & \cr & g\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c{\text{ mit 21}} \leqslant {\text{t}} \leqslant {\text{42}} \cr & g'\left( t \right) = 2 \cdot a \cdot t + b \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: g}}\left( {t = 21} \right) = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}g(t = 42) = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: g'}}\left( {t = 21} \right) = f'\left( {t = 21} \right) \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: }}a \cdot {21^2} + b \cdot 21 + c = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: a}} \cdot {\text{4}}{{\text{2}}^2} + b \cdot 42 + c = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: 2}} \cdot {\text{a}} \cdot {\text{21 + b = }}\dfrac{2}{{15}} \cdot 21 + 0,2 \cr & \cr & {21^2} \cdot a + 21 \cdot b + c = 38,6 \cr & {42^2} \cdot a + 42 \cdot b + c = 72,2 \cr & 42 \cdot a + b = 3 \cr & \cr & {\text{nicht gefragt:}} \cr & a \approx - 0,0666 \cr & b \approx 5,8 \cr & c \approx - 53,8 \cr & \cr & g(t) = - 0,0666 \cdot {t^2} + 5,8 \cdot t - 53,8 \cr} \)
3. Teilaufgabe:
\(\dfrac{{g\left( {{t_2}} \right) - f\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)
Es gilt: t1 = 2 Tage, t2 = 42 Tage
Der Differenzenquotient auch mittlere Änderungsrate genannt, errechnet sich aus dem Quotienten von der Differenz der abhängigen y-Größe zur Differenz der unabhängigen x-Größen.
Somit bieten sich folgende Interpretationen an:
- Der Term beschreibt die mittlere Änderungsrate der Höhe dieser Sonnenblume im Zeitintervall [2; 42] in cm/Tag.
oder:
- Der Term beschreibt das durchschnittliche Wachstum dieser Sonnenblume im Zeitintervall [2; 42] in cm/Tag.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der gesuchte Wert auf der y-Achse beträgt 5
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1: g}}\left( {21} \right) = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}g(42) = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: g'}}\left( {21} \right) = f'\left( {t = 21} \right) \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: }}{21^2} \cdot a + 21 \cdot b + c = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: 4}}{2^2} \cdot a + 42 \cdot b + c = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: }}42 \cdot a + b = 3 \cr} \)
3. Teilaufgabe
- Der Term beschreibt die mittlere Änderungsrate der Höhe dieser Sonnenblume im Zeitintervall [2; 42] in cm/Tag.
oder:
- Der Term beschreibt das durchschnittliche Wachstum dieser Sonnenblume im Zeitintervall [2; 42] in cm/Tag.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen des richtigen Wertes.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems mit drei Gleichungen, ein halber Punkt für nur zwei richtige Gleichungen.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zugehörigen Einheit.