Aufgabe 3066
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pelletsheizung
In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung (mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne – als Brennmaterial) eingesetzt.
Teil b
Familie Buchner lebt in einem Einfamilienhaus und heizt mit Heizöl. Die Familie überlegt, auf eine Pelletsheizung umzusteigen. Für die geschätzten Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl oder mit Pellets ab dem Jahr 2019 trifft Familie Buchner folgende Annahmen:
- Familie Buchner verbraucht pro Jahr rund 15 000 kWh Energie für das Beheizen ihres Hauses.
- Der Jahresdurchschnittspreis für das Heizen mit Heizöl (0,0795 €/kWh) und jener für das Heizen mit Pellets (0,0484 €/kWh) bleiben ab dem Jahr 2019 gleich.
- Der Umstieg von der Ölheizung zu einer Pelletsheizung kostet einmalig 10.000 €.
- t ... Zeit seit Beginn des Jahres 2019 in Jahren
- KÖl(t) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl bis zur Zeit t in €
- KPellets(t) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Pellets bis zur Zeit t in €
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie auf Basis dieser Annahmen jeweils eine Funktionsgleichung von KÖl bzw. von KPellets auf.
[0 / ½ / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Zeitpunkt t1 , zu dem die geschätzten Gesamtkosten für Familie Buchner für das Heizen mit Pellets gleich groß sind, wie die geschätzten Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Für die Ölheizung fallen pro Jahr 15000 kWh zu je 0,0795 €/kWh an.
- Für die Pelletsheizung fallen pro Jahr 15000 kWh zu je 0,0484 €/kWh an und zusätzlich die Einmalkosten für den Umbau in Höhe von 10000€ an.
Wir können die beiden Gleichungen wir folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & {K_{{\text{Öl}}}}\left( t \right) = 15000 \cdot 0,0795 \cdot t = 1192,5 \cdot t \cr & {K_{{\text{Pellets}}}}\left( t \right) = 15000 \cdot 0,0484 \cdot t + 10000 = 726 \cdot t + 10000 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Wir setzen die beiden Bestimmungsgleichungen aus der 1. Teilaufgabe gleich und machen t1 explizit:
\(\eqalign{
& 1192,5 \cdot {t_1} = 726 \cdot {t_1} + 10000\,\,\,\,\,\left| { - 726 \cdot {t_1}} \right. \cr
& 466,5 \cdot {t_1} = 10000\,\,\,\,\,\left| {:466,5} \right. \cr
& {t_1} \approx 21,44 \cr} \)
→ Es dauert ca. 22,44 Jahre, bis sich die Investition in die Pelletsheizung samt Umbau amortisiert hat.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & {K_{{\text{Öl}}}}\left( t \right) = 15000 \cdot 0,0795 \cdot t = 1192,5 \cdot t \cr & {K_{{\text{Pellets}}}}\left( t \right) = 15000 \cdot 0,0484 \cdot t + 10000 = 726 \cdot t + 10000 \cr} \)
2. Teilaufgabe
Es dauert ca. 22,44 Jahre bis sich die Investition in die Pelletsheizung samt Umbau amortisiert hat.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der beiden Funktionsgleichungen KÖl und KPellets, ein halber Punkt für nur eine richtige Funktionsgleichung.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t1 .