Aufgabe 1877
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
Ein bestimmter Zufallsversuch mit der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit p wird 400-mal
durchgeführt. Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt dabei die Anzahl der Erfolge. Für den Erwartungswert gilt: μ = 80.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit p sowie die Standardabweichung σ der Zufallsvariablen X.
- p =
- σ =
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
Wir kennen den Erwartungswert E(X)= μ = 80 und den Stichprobenumfang n=400.
Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable gilt:
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
Aus dieser Gleichung können wir p wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} 80 = 400 \cdot p\\ p = \dfrac{{80}}{{400}} = 0,2 \end{array}\)
Für die Standardabweichung der Binomialverteilung gilt:
\(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Aus dieser Gleichung können wir σ wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} \sigma = \sqrt {400 \cdot 0,2 \cdot \left( {1 - 0,2} \right)} = \\ = \sqrt {80 \cdot 0,8 = } \sqrt {64} = 8 \end{array}\)
Somit: \(p = 0,2;\,\,\,\,\,\sigma = 8\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(p = 0,2;\,\,\,\,\,\sigma = 8\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.