Aufgabe 1873
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Veränderung von Zahlen
Eine bestimmte Datenliste besteht aus 100 Zahlen x1 , x2 , … , x100 . Das arithmetische Mittel der Datenliste beträgt 86, deren Minimum 29 und deren Maximum 103.
Eine zweite Datenliste besteht ebenfalls aus 100 Zahlen. Sie entsteht dadurch, dass jede Zahl der ursprünglichen Datenliste um 20 verkleinert wird.
Aufgabenstellung:
Geben Sie für die zweite Datenliste das arithmetische Mittel und die Spannweite an.
- arithmetisches Mittel:
- Spannweite:
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
Für das arithmetische Mittel gilt:
\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\)
Für die ursprüngliche Datenliste gilt:
\({\overline x _{urspr.}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_{100}}}}{{100}}\)
Für die neue Datenliste gilt:
\(\eqalign{ & {\overline x _{neu}} = \dfrac{{\left( {{x_1} - 20} \right) + \left( {{x_2} - 20} \right) + ... + \left( {{x_{100}} - 20} \right)}}{{100}} = \cr & = \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{100}}} \right) - 20 \cdot 100}}{{100}} = \cr & = {\overline x _{urspr.}} - 20 = \cr & = 86 - 20 \cr & {\overline x _{neu}} = 66 \cr} \)
Für die Spannweite gilt:
\(\eqalign{ & R = {x_{\max }} - {x_{\min }} \cr & {R_{urspr.}} = 103 - 29 = 74 \cr & {R_{neu}} = \left( {103 - 20} \right) - \left( {29 - 20} \right) = 83 - 9 = 74 \cr} \)
Dass sich die Spannweite nicht verändert, überrascht uns nicht, denn alle 100 Zahlen werden ja nur parallel um 20 in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Das beeinflusst den Abstand R zwischen dem Maximum und dem Minimum natürlich nicht.
Die gesuchten Werte lauten somit:
- Arithmetisches Mittel = 66
- Spannweite = 74
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Arithmetisches Mittel = 66
- Spannweite = 74
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.