Aufgabe 1849
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gehälter
In einem kleinen Betrieb arbeiten sieben Personen. Nachstehend sind deren monatliche Gehälter angegeben: € 1.500, € 2.300, € 1.500, € 1.400, € 4.500, € 2.200, € 1.300. Es wird eine weitere Person eingestellt, wodurch sich der Median der Gehälter nicht verändert.
Aufgabenstellung:
Geben Sie unter dieser Voraussetzung das höchstmögliche Gehalt dieser weiteren Person an.
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Lösungsweg
Der Median bzw. Zentralwert med ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste. Der Median teilt die geordnete Liste also in zwei Hälften, mit jeweils der Hälfte der Stichproben links bzw. rechts vom Median.
Zunächst handelt es sich um eine ungerade Anzahl an Personen. Der Median beträgt 1.500 e und der 4. Wert der geordneten Datenliste gemäß
\(me{d_{{\rm{ungerade}}}} = {x_{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}}\)
1. Pers. | 2. Pers. | 3. Pers. | 4. Pers. | 5. Pers. | 6. Pers. | 7. Pers. |
1.300 | 1.400 | 1.500 | 1.500 | 2.200 | 2.300 | 4.500 |
Kommt nun eine Person dazu, so handelt es sich um eine gerade Anzahl an Personen. Der Median ist in diesem Fall der Mittelwert aus dem 4. und dem 5. Wert gemäß
\(me{d_{gerade}} = \dfrac{{{x_{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)}} + {x_{\left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}}}{2}\)
Verdient diese zusätzliche Person (viel) weniger als 1.500 €, etwa 1 €, so würde der Median gleich bleiben:
8. Pers. | 1. Pers. | 2. Pers | 3. Pers. | 4. Pers. | 5. Pers. | 6. Pers. | 7. Pers. |
1 | 1.300 | 1.400 | 1.500 | 1.500 | 2.200 | 2.300 | 4.500 |
Verdient diese zusätzliche Person exakt den Median von 1.500 €, so würde der Median gleich bleiben:
1. Pers. | 2. Pers. | 3. Pers. | 8. Pers. | 4. Pers. | 5. Pers. | 6. Pers. | 7. Pers |
1.300 | 1.400 | 1.500 | 1.500 | 1.500 | 2.200 | 2.300 | 4.500 |
Verdient diese zusätzliche Person (geringfügig) mehr als 1.500 €, etwa 1.501 € so würde sich der Median auf Grund des Mittelwerts erhöhen, was lt. Aufgabenstellung unzulässig ist:
1. Pers. | 2. Pers. | 3. Pers. | 4. Pers. | 8. Pers. | 5. Pers. | 6. Pers. | 7. Pers. |
1.300 | 1.400 | 1.500 | 1.500 | 1.501 | 2.200 | 2.300 | 4.500 |
Das höchstmögliche Gehalt, ohne dass sich der Median ändert, beträgt 1.500 €
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Das höchstmögliche Gehalt, ohne dass sich der Median ändert, beträgt 1.500 €
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Gehalts.