Aufgabe 1827
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Defekte Geräte
Erfahrungsgemäß sind 2,5 % der Geräte, die von einem bestimmten Unternehmen geliefert werden, defekt. Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Geräte in einer Zufallsstichprobe vom Umfang n an. Für den Erwartungswert gilt: E(X) = 20.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Umfang n der Zufallsstichprobe.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, weil die diskrete Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Gerät defekt / Gerät nicht defekt. Es bleibt zudem die Grundgesamtheit unverändert, weil die Prüfung von einem Gerät keine Auswirkung auf die Prüfung eines anderen Geräts hat.
Für den Erwartungswert der Binomialverteilung gilt:
\(E\left( X \right) = n \cdot p\)
Aus der Angabe entnehmen wir:
\(\eqalign{ & E\left( X \right) = 20 \cr & p = 0,025 \buildrel \wedge \over =2,5\% {\text{ defekte Geräte}} \cr} \)
Durch Einsetzen erhalten wir den gesuchten Stichprobenumfang wie folgt:
\(\begin{array}{l} 20 = n \cdot 0,025\\ n = \dfrac{{20}}{{0,025}} = 800 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
n=800
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.