Aufgabe 1779
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeitsverteilung
In einer Urne befinden sich ausschließlich weiße und schwarze Kugeln. Drei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an. Durch die nachstehende Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X gegeben.
x | 1 | 2 | 3 |
P(X=x) | 0,3 | 0,6 | 0,1 |
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei weise Kugeln zu ziehen, ist 0,9.
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weise Kugel zu ziehen, ist 0,3.
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine weise Kugel zu ziehen, ist 0,6.
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei schwarze Kugeln und eine weise Kugel zu ziehen, ist 0,1.
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen, ist 0,9.
Lösungsweg
- Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 3 gezogenen Kugeln 1 Kugel weiß ist beträgt P(1)=0,3
- Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 3 gezogenen Kugeln 2 Kugel weiß sind beträgt P(2)=0,6
- Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 3 gezogenen Kugeln 3 Kugel weiß sind beträgt P(3)=0,3
- Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 3 gezogenen Kugeln 0 Kugel weiß sind beträgt P(0)=0,
weil die Summe der 3 anderen Wahrscheinlichkeiten bereits 1 und somit 100% ist.
- Aussage 1: Richtig, weil
\(P(X \le 2) = P\left( {X = 0} \right) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9\)
- Aussage 2: Falsch, weil
\(P\left( {X \ge 1} \right) = P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) + P\left( {X = 3} \right) = 0,3 + 0,6 + 0,1 = 1 \ne 0,3\)
- Aussage 3: Falsch, weil
\(P\left( {X > 1} \right) = P(X = 2) + P\left( {X = 3} \right) = 0,6 + 0,1 = 0,7 \ne 0,6\)
- Aussage 4: Falsch, weil
\(P(X = 1) = 0,3 \ne 0,1\)
- Aussage 5: Richtig, weil
\(P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind