Aufgabe 1777
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zahlenliste
Gegeben ist eine Liste der Zahlen \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_{40}}\) für die \({x_1} < {x_2} < {x_3} < ... < {x_{40}}\) gilt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Zahl an, die zu obiger Liste jedenfalls hinzugefügt werden kann, ohne dass sich der Median der Liste ändert.
- Aussage 1: \(\dfrac{{{x_1} + {x_{20}}}}{2}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{{x_1} + {x_{40}}}}{2}\)
- Aussage 3: \(\dfrac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\)
- Aussage 4: \(\dfrac{{{x_{20}} + {x_{40}}}}{2}\)
- Aussage 5: \({x_{20}}\)
- Aussage 6: \({x_{21}}\)
Lösungsweg
Der Median bzw. Zentralwert ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste. Der Median teilt die geordnete Liste also in zwei Hälften, mit jeweils der Hälfte der Stichproben links bzw. rechts vom Median.
Die Zahlenliste umfasst mit n=40 eine gerade Anzahl an Zahlen, daher errechnet sich der Median aus dem Durchschnitt der beiden mittleren Werte, also dem 20. und dem 21. Wert wie folgt:
\(me{d_{n = gerade}} = \dfrac{{{x_{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)}} + {x_{\left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}}}{2} = \dfrac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\)
→ Aussage 3 entspricht diesem Wert.
Wenn man den Wert gemäß Aussage 3 als 41. Wert einfügt, so liegt er genau in der Mitte zwischen dem 20. und dem 21. Wert. Der alte Median wäre ident mit dem neuen Median.
- Aussage 1: Falsch. Begründung siehe oben
- Aussage 2: Falsch. Begründung siehe oben
- Aussage 3: Richtig. Begründung siehe oben
- Aussage 4: Falsch. Begründung siehe oben
- Aussage 5: Falsch. Begründung siehe oben
- Aussage 6: Falsch, Begründung siehe oben
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Zahl angekreuzt ist.