Aufgabe 1757
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Frühstück
Im Rahmen einer Studie gaben 252 von 450 Jugendlichen eines Bundeslandes an, dass sie immer frühstucken, bevor sie in die Schule gehen. Der Anteil dieser Jugendlichen wird mit h bezeichnet. Der Anteil aller Jugendlichen dieses Bundeslandes, die immer frühstucken, bevor sie in die Schule gehen, wird mit p bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Geben Sie auf Basis dieser Studie für p ein um h symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall an. [0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Bei der Ermittlung statistischer Parameter wie Mittelwert oder Standardabweichung prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (in dieser Aufgabe mit 95%) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet.
Die Formel für das Konfidenzintervall lautet
\({p_{1,2}} = \left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
Wir stellen die erforderlichen Werte für h, n und z wie folgt zusammen
- relative Häufigkeit: \(h = \dfrac{{252}}{{450}} = 0,56 \to \left( {1 - h} \right) = 0,44\)
- Umfang der Stichprobe: n=450
- Für das 95%-Konfidenzintervall gilt
\(2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = 0,95 \to \Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975\)
Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung können wir ablesen: \(z\left( {0,975} \right) = 1,96\)
Somit können wir in die Formel für das Konfidenzintervall wie folgt einsetzen
\(0,56 \pm 1,96 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,56 \cdot 0,44}}{{450}}} = 0,56 \pm 0,0458\)
Wir erhalten das gesuchte Konfidenzintervall zu
\(\left[ {0,514;\,\,0,606} \right]\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Das gesuchte Konfidenzintervall lautet: \(\left[ {0,514;\,\,0,606} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall fur die Untergrenze: [0,51; 0,52]
Toleranzintervall fur die Obergrenze: [0,60; 0,61]