Aufgabe 1756
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Drei Würfe mit einem Kegel
Wirft man einen Kegel, kann dieser entweder auf der Mantelflache oder auf der Grundflache zu liegen kommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kegel auf der Grundfläche zu liegen kommt, beträgt bei jedem Wurf unabhängig von den anderen Würfen 30 %.
Der Kegel wird im Zuge eines Zufallsexperiments dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft der Kegel dabei auf der Grundflache zu liegen kommt. Die unten stehende Tabelle soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X angeben.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die fehlenden Werte. [0 / 1 Punkt]
X | Wahrscheinlichkeit (gerundet) |
0 | 0,343 |
1 | 0,441 |
2 | |
3 |
Lösungsweg
Aus der Aufgabenstellung kennen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kegel nie oder einmal auf der Grundfläche zu liegen kommt. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Kegel zwei oder alle drei Mal auf der Grundfläche zu liegen kommt.
Es liegt eine Binomialverteilung vor, mit
- Stichprobenumfang: n=3
- Erfolgswahrscheinlichkeit: \(p = 30\% \buildrel \wedge \over = 0,3 \to \left( {1 - p} \right) = 0,7\) → 1-p=0,7
- Anzahl der Landungen vom Kegel auf der Grundfläche k=2, 3
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung, dh die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau k Treffer gibt:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
Mit Hilfe dieser Formel berechnen wir die beiden gesuchten Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
\(\begin{array}{l} P(X = 2) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,3^2} \cdot {0,7^1} = 0,189\\ P(X = 3) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {0,3^3} \cdot {0,7^0} = 0,027 \end{array}\)
Die fehlenden Werte lauten:
\(\begin{array}{l} P\left( {X = 2} \right) = 0,189\\ P\left( {X = 3} \right) = 0,027 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
X | Wahrscheinlichkeit (gerundet) |
0 | 0,343 |
1 | 0,441 |
2 | \(P\left( {X = 2} \right) = 0,189\) |
3 | \(P\left( {X = 3} \right) = 0,027\) |
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.
Toleranzintervall für den ersten Wert: [0,18; 0,19]
Toleranzintervall für den zweiten Wert: [0,02; 0,03]