Aufgabe 1732
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pasch
Bei einem Spiel werden in jeder Spielrunde zwei Würfel geworfen. Zeigen nach einem Wurf beide Würfel die gleiche Augenzahl, spricht man von einem Pasch. Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch zu werfen, beträgt 1/6.
Aufgabenstellung:
Es werden acht Runden (unabhängig voneinander) gespielt. Die Zufallsvariable X bezeichnet dabei die Anzahl der geworfenen Pasche. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die Anzahl X der geworfenen Pasche unter dem Erwartungswert E(X) liegt.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir können mit einer Binomialverteilung B(n,p) arbeiten, weil es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Pasch, kein Pasch. Die Grundgesamtheit ändert sich nicht, weil jeder der 8 Würfe unabhängig von den zuvor erfolgten Würfen ist.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
Der Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich zu:
\(E\left( X \right) = n \cdot p = 8 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(X \le \dfrac{4}{3}\) beträgt, errechnet sich unter Berücksichtigung der Tatsache dass X nur eine ganze Zahl sein kann zu:
\(\eqalign{
& P\left( {X \leqslant \frac{4}{3}} \right) = P\left( {X \leqslant 1} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) \cr
& {\text{mit }}n = 8;\,\,\,p = \dfrac{1}{6};\,\,\,\left( {1 - p} \right) = \dfrac{5}{6};\,\,\,k \leqslant 1{\text{ d}}{\text{.h}}{\text{. k = 0}}{\text{,1}} \cr} \)
\(\begin{array}{l}
P\left( {X \le \dfrac{4}{3}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
8\\
0
\end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^8} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
8\\
1
\end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^1} \cdot {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^{8 - 1}} \approx 0,60467\\
P\left( {X \le \dfrac{4}{3}} \right) = P\left( {X \le 1} \right) \approx 0,605 \buildrel \wedge \over = 60,5\%
\end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( {X \le \dfrac{4}{3}} \right) = P\left( {X \le 1} \right) \approx 0,605 \buildrel \wedge \over = 60,5\% \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Losung sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,6; 0,61]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.