Aufgabe 1709
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Konfidenzintervall
Jemand möchte den unbekannten Anteil p derjenigen Wählerinnen und Wähler ermitteln, die bei einer Wahl für den Kandidaten A stimmen werden, und beauftragt ein Meinungsforschungsinstitut damit, diesen Anteil p zu schätzen. Im Zuge dieser Schätzung werden 200 Stichproben mit jeweils gleichem Umfang ermittelt. Für jede dieser Stichproben wird das entsprechende 95-%-Konfidenzintervall berechnet.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die erwartete Anzahl derjenigen Intervalle, die den unbekannten Anteil p enthalten!
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Erhoben wurden n=200 Stichproben, um den unbekannten Anteil p der Wähler für Kandidat A zu ermitteln.
Für jede der n=200 Stichproben soll jeweils das 95% Konfidenzintervall gebildet werden. D.h. der unbekannte Anteil p an Wählern soll mit 95% Wahrscheinlichkeit in diesen Konfidenzintervalle enthalten sein.
Achtung, die Variable p wird doppelt verwendet, was verwirren kann:
- 1) lt. Angabe für den Anteil der Wähler, die Kandidat A wählen. Die Einheit von p muss daher „Anzahl an Wählern“ sein.
- 2) laut den Formeln für die Binomialverteilung für die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X, bei jedem einzelnen der n Versuche, wobei für dieses p gilt: 0<p<1
Wir müssen daher den Erwartungswert der Binomialverteilung berechnen:
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
\(E\left( X \right) = 200 \cdot 0,95 = 190\)
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Die erwartete Anzahl ist 190.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.