Aufgabe 1708
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Trefferwahrscheinlichkeit
Bei einem Training wirft eine Basketballspielerin einen Ball sechsmal hintereinander zum Korb. Fällt der Ball in den Korb, spricht man von einem Treffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Spielerin betragt bei jedem Wurf 0,85 (unabhängig von den anderen Würfen).
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Ereignissen jeweils denjenigen Term (aus A bis F) zu, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses beschreibt!
- Ereignis 1: Die Spielerin trifft genau einmal.
- Ereignis 2: Die Spielerin trifft höchstens einmal.
- Ereignis 3: Die Spielerin trifft mindestens einmal.
- Ereignis 4: Die Spielerin trifft genau zweimal.
- Wahrscheinlichkeit A: \(1 - {0,85^6}\)
- Wahrscheinlichkeit B: \({0,15^6} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,85^1} \cdot {0,15^5}\)
- Wahrscheinlichkeit C: \(1 - {0,15^6}\)
- Wahrscheinlichkeit D: \({0,85^6} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,85^5} \cdot {0,15^1}\)
- Wahrscheinlichkeit E: \(6 \cdot 0,85 \cdot {0,15^5}\)
- Wahrscheinlichkeit F: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,85^2} \cdot {0,15^4}\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) mit \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 100}\\ {k = 1} \end{array}} \right) = 100\)
- Ereignis 1: Da „genau“ 1 Treffer gesucht ist, können wir direkt in obige Formel einsetzen, wobei n=6, k=1, p=0,85:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,85^1} \cdot {\left( {1 - 0,85} \right)^{6 - 1}} = 6 \cdot 0.85 \cdot {\left( {0,15} \right)^5} \to \) Term E
- Ereignis 2: „Höchstens ein Treffer“ ist gleichbedeutend mit „genau keiner Treffer“ plus „genau ein Treffer“. Wir suchen also einen Term in dem 2 Wahrscheinlichkeiten addiert werden (was einem logischen „oder“ entspricht), somit kommen nur Term B und D in Frage.
- Der 1. Summand muss besagen, dass „genau kein Treffer bei 6 Würfen“ gelingt, dazu verwenden wir die Gegenwahrscheinlichkeit:
\({\left( {1 - 0,85} \right)^6} = {0,15^6}\) - Der 2. Summand muss besagen, dass „genau 1 Treffer“ gelingt, das entspricht dem Ereignis 1:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,85^1} \cdot {\left( {1 - 0,85} \right)^{6 - 1}} \to \) Term B
- Der 1. Summand muss besagen, dass „genau kein Treffer bei 6 Würfen“ gelingt, dazu verwenden wir die Gegenwahrscheinlichkeit:
- Ereignis 3: Wir arbeiten mit der Gegenwahrscheinlichkeit, dass es keinen Treffer gibt. Die Gegenwahrscheinlichkeit hat immer die Form : \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\). Damit kommen Term A und Term C in Frage
- Term A scheidet aus, weil er die Gegenwahrscheinlichkeit dafür angibt, dass der Ball 6 mal hintereinander in den Korb fällt.
- Term C: \({\left( {1 - p} \right)^6}\) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Ball 6 mal hintereinander nicht in den Korb fällt. → Term C
- Ereignis 4: Da „genau“ 2 Treffer gesucht ist, können wir direkt in obige Formel einsetzen, wobei n=6, k=2, p=0,85
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,85^2} \cdot {\left( {1 - 0,85} \right)^{6 - 2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0.85^2} \cdot {0,15^4} \to \) Term F
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Ereignis 1: Wahrscheinlichkeit E
- Ereignis 2: Wahrscheinlichkeit B
- Ereignis 3: Wahrscheinlichkeit C
- Ereignis 4: Wahrscheinlichkeit F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Ereignisse ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein halber Punkt zu geben.