Aufgabe 1657
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderung einer Datenliste
Gegeben ist eine Datenliste \({x_1},{x_2},....,{x_n}\) mit n Werten und dem arithmetischen Mittel a. Diese Datenliste wird um zwei Werte \({x_{n + 1}},{x_{n + 2}}\) ergänzt, wobei das arithmetische Mittel der neuen Datenliste \({x_1},{x_2},....,{x_n},{x_{n + 1}},{x_{n + 2}}\) ebenfalls a ist.
Aufgabenstellung:
Geben Sie für diesen Fall einen Zusammenhang zwischen \({x_{n + 1}},{x_{n + 2}}\) und a mithilfe einer Formel an.
Lösungsweg
Das arithmetische Mittel bzw. der Durchschnittswert ist ein Lagemaß, welches sich aus der Summe aller erhobenen Werte - direkt aus der Urliste - dividiert durch die Anzahl der Werte errechnet.
\(\dfrac{{{x_1} + {x_2} + ....{x_n}}}{n} = a\)
Damit trotz der 2 zusätzlichen Werte das arithmetische Mittel unverändert a bleibt, muss das arithmetische Mittel der beiden zusätzlichen Daten gleich dem bisherigen arithmetischen Mittel a sein. Es muss daher wie folgt gelten:
\(\dfrac{{{x_{n + 1}} + {x_{n + 2}}}}{2} = a\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\dfrac{{{x_{n + 1}} + {x_{n + 2}}}}{2} = a\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.