Aufgabe 1634
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gummibären
In einer Packung befinden sich 50 Gummibären. Von diesen sind 20 rot, 16 weiß und 14 grün. Ein Kind entnimmt mit einem Griff drei Gummibären, ohne dabei auf die Farbe zu achten.
Aufgabenstellung:
Geben Sie unter der Voraussetzung, dass jeder Gummibär mit der gleichen Wahrscheinlichkeit entnommen wird, die Wahrscheinlichkeit an, dass mindestens einer der drei entnommenen Gummibären rot ist!
Lösungsweg
Wir könnten die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass das mindestens einer der drei entnommenen Gummibären rot ist \(P\left( {1 \le X \le 3} \right) = P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) + P\left( {X = 3} \right)\). Wesentlich einfacher ist es aber mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu rechnen, also dass keines der 3 entnommenen Bärchen rot ist.
- Es sind insgesamt 16+14=30 nicht rote Bärchen vorhanden
- Das Kind legt einmal herausgenommene Bären nicht mehr zurück. Dh die Anzahl der insgesamt vorhandenen Bären ("Mögliche") reduziert sich wir folgt: 50 → 49 → 48
Somit können wir wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} P\left( {1 \le X \le 3} \right) = P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) + P\left( {X = 3} \right) = 1 - P\left( {X = 0} \right)\\ 1 - P\left( {X = 0} \right) = 1 - \dfrac{{30}}{{50}} \cdot \dfrac{{29}}{{49}} \cdot \dfrac{{28}}{{48}} = \dfrac{{111}}{{140}} \approx 0,793 \buildrel \wedge \over = 79,3\% \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der drei entnommenen Gummibären rot ist beträgt \(P = 0,793\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [0,79; 0,80] bzw. [79 %; 80 %]
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist