Aufgabe 1544
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen zu einer Zufallsvariablen
Die Zufallsvariable X kann nur die Werte 10, 20 und 30 annehmen. Die nachstehende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an, wobei a und b positive reelle Zahlen sind.
k | 10 | 20 | 30 |
P(X=k) | a | b | a |
- Aussage 1: Der Erwartungswert von X ist 20
- Aussage 2: Die Standardabweichung von X ist 20
- Aussage 3: \(a + b = 1\)
- Aussage 4: \(P\left( {10 \le X \le 30} \right) = 1\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \le 10} \right) = P\left( {X \ge 10} \right)\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X, welche die diskreten Werte x1, x2, ..., xn mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x1), P(X=x2), ... P(X=xn) annimmt, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert xi und seiner Wahrscheinlichkeit P(X=xi).
\(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) + ... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right)} \)
- Aussage 1: Richtig, weil wir das aus der Symmetrie \(P\left( {10} \right) = a = P\left( {30} \right)\) schließen können, dass 20, also der Wert genau in der Mitte, der Erwartungswert E(X) ist, unabhängig davon, ob b größer oder kleiner als a ist. Oder weil wir E(X) wie folgt ausrechnen:\(\begin{array}{l} I:\,\,\,\,\,E\left( X \right) = 10 \cdot a + 20 \cdot b + 30 \cdot a = 40 \cdot a + 20 \cdot b = 20 \cdot \left( {2a + b} \right)\\ II:\,\,\,\,\,a + b + a = 1 \buildrel \wedge \over = 100\% \Rightarrow 2a + b = 1\\ II \to I:\,\,\,\,\,E\left( x \right) = 20 \cdot \left( 1 \right) = 20 \end{array}\)
- Aussage 2: Falsch, weil die Standardabweichung ein Maß dafür ist, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Mittelwert entfernt liegen. Da die Entfernung zwischen 10 und 30 - also den beiden Extremen - aber "nur" 20 ist, muss die durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert wesentlich kleiner sein als 20.
- Aussage 3: Falsch, weil sich die Summe aller (3) Wahrscheinlichkeitswerte zu 1 aufsummieren muss. Somit wäre richtig: a+b+a=2a+b=1
- Aussage 4: Richtig, weil der Bereich zwischen 10 und 30 alle 3 möglichen Werte abdeckt und sich die Wahrscheinlichkeiten somit auf 1 aufsummieren müssen.\(P\left( {10 \le X \le 30} \right) = P\left( {X = 10} \right) + P\left( {X = 20} \right) + P(X = 30) = a + b + a = 2a + b = 1\)
- Aussage 5: Falsch, weil
\(\begin{array}{l} P\left( {X \le 10} \right) = P\left( {X = 10} \right) = a\\ P\left( {X \ge 10} \right) = P\left( {X = 10} \right) + P\left( {X = 20} \right) + P\left( {X = 30} \right) = a + b + a = 2a + b \end{array}\)
Ergebnis
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.