Aufgabe 1523
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 19. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mittlere Fehlstundenanzahl
In einer Schule gibt es vier Sportklassen: S1, S2, S3 und S4. Die nachstehende Tabelle gibt eine Übersicht über die Anzahl der Schüler/innen pro Klasse sowie das jeweilige arithmetische Mittel der während des ersten Semesters eines Schuljahres versäumten Unterrichtsstunden.
Klasse | Anzahl der Schüler/innen | Arithmetisches Mittel der versäumten Stunden |
S1 | 18 | 45,5 |
S2 | 20 | 63,2 |
S3 | 16 | 70,5 |
S4 | 15 | 54,6 |
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel \({\overline x _{ges}}\) der versäumten Unterrichtsstunden aller Schüler/innen der vier Sportklassen für den angegebenen Zeitraum!
Lösungsweg
Wir leiten uns selbst die Lösungsformel wie folgt her:
Es seien \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4}\) die Anzahl von Schüler/innen und \({\overline x _1},{\overline x _2},{\overline x _3},{\overline x _4}\) das arithmetische Mittel der versäumten Stunde der jeweiligen Klasse. Somit ist \({n_{ges}}\sum\limits_{i = 1}^4 {{n_i} = } {n_1} + {n_2} + {n_3} + {n_4}\) die Gesamtanzahl der Schüler. Um das arithmetische Mittel \({\overline x _{ges}}\) zu berechnen, müssen wir die Fehlstunden aller Schüler aufaddieren. Diese Fehlstundenanzahl wird dann durch die Gesamtanzahl der Schüler dividiert. In einer Formel ausgedrückt bedeutet das: \({\overline x _{ges}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {\dfrac{{{n_i} \cdot {{\overline x }_i}}}{{{n_{ges}}}}} \)
Wir setzen in die oben hergeleitete Formel (Anzahl der Fehlstunden dividiert durch die Gesamtzahl der Schüler) wie folgt ein:
\(\eqalign{ & {\overline x _{ges}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {\dfrac{{{n_i} \cdot {{\overline x }_i}}}{{{n_{ges}}}}} = \dfrac{{{\text{18}} \cdot 45,5 + 20 \cdot 63,3 + 16 \cdot 70,5 + 15 \cdot 54,6}}{{18 + 20 + 16 + 15}} = 58,405... \cr & {\overline x _{ges}} \approx 58,4h \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({\overline x _{ges}} \approx 58,4h\)
Lösungsschlüssel:
Lösungsintervall: [58 h; 60 h]
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „h“ nicht angegeben sein muss. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.