Aufgabe 1374
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfeln
Ein fairer Würfel wird zehnmal geworfen.
Welche Wahrscheinlichkeit wird durch den Term \(1 - \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 9 \end{array}} \right) \cdot {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^9} \cdot \dfrac{5}{6} + {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^{10}}} \right]\) angegeben?
- Aussage 1: Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens acht Sechser zu werfen.
- Aussage 2: Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, mehr als zweimal keinen Sechser zu werfen.
- Aussage 3: Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, mindestens einmal keinen Sechser zu werfen.
- Aussage 4: Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, weniger als neun Sechser zu werfen.
- Aussage 5: Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, mehr als acht Sechser zu werfen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Antwort(en) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Wir werten die Angabe wir folgt aus:
- Wir wissen n=10, weil der Würfel wird 10 mal geworfen
- Wir wissen p=1/6, weil der Würfel 6 Seiten hat und die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser somit 1/6 beträgt
- Aus der Formel \(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\) wissen wir, dass der 2. Faktor immer pk ist, womit wir k zu 9 bzw. 10 ablesen können
Nun schreiben wir den gegebenen Term wir folgt um:
\(1 - \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 9 \end{array}} \right) \cdot {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^9} \cdot \dfrac{5}{6} + {{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^{10}}} \right] = 1 - \left[ {P\left( {X = 9} \right) + P\left( {X = 10} \right)} \right] = 1 - \left[ {P(X \ge 9)} \right] = P\left( {X \le 8} \right)\)
Dies sagt aus, dass "höchstens" acht mal die selbe Zahl gewürfelt wurde.
Letztlich bewerten wir die 5 Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Richtig, weil wir oben gezeigt haben, dass diese Aussage dem gegebenen Term entspricht
- Aussage 2: Falsch, weil "mehr als 2" entspricht \(P(X > 2) \ne P(X \le 8)\)
- Aussage 3: Falsch, weil "mindestens 1" entspricht \(P(X \ge 1) \ne P(X \le 8)\)
- Aussage 4: Richtig, weil "weniger als 9" entspricht \(P(X < 9) = P(X \le 8)\)
- Aussage 5: Falsch, weil "mehr als 8" entspricht \(P(X > 8) \ne P(X \le 8)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.