Aufgabe 1188
AHS - 1_188 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kennzahlen der Binomialverteilung
Auf einer Sortieranlage werden Flaschen von einem Scanner untersucht und es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. 95 % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der falschen Entscheidungen bei einem Stichprobenumfang von 500 Stück. Verwenden Sie die Binomialverteilung als Modell.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zufallsvariable X!
Lösungsweg
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Kunststoff richtig erkannt oder Kunststoff falsch erkannt.
- n=500, weil der Stichprobenumfang 500 Stk. beträgt
- p‘=0,95, weil bei 95% der Flaschen der Kunststoff richtig erkannt wird
- p=(1-p‘)=0,05 Gegenwahrscheinlichkeit und somit die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Entscheidung
Mit den beiden Werten n und p können wir direkt in die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung wie folgt einsetzen:
\(\begin{array}{l} E(x) = \mu = n \cdot p = 500 \cdot 0,05 = 25\\ \sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} = \sqrt {500 \cdot 0,05 \cdot 0,95} = 4,8734 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} E(x) = \mu = n \cdot p = 500 \cdot 0,05 = 25\\ \sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} = \sqrt {500 \cdot 0,05 \cdot 0,95} = 4,8734 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn beide Werte richtig berechnet sind.
Toleranzintervall: [4,8; 4,9]