Aufgabe 1162
AHS - 1_162 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geordnete Urliste
9 Kinder wurden dahingehend befragt, wie viele Stunden sie am Wochenende fernsehen. Die nachstehende Tabelle gibt ihre Antworten wieder.
Kind | Fernsehstunden |
Fritz | 2 |
Susi | 2 |
Michael | 3 |
Martin | 3 |
Angelika | 4 |
Paula | 5 |
Max | 5 |
Hubert | 5 |
Lisa | 8 |
- Aussage 1: Der Median würde sich erhöhen, wenn Fritz um eine Stunde mehr fernsehen würde.
- Aussage 2: Der Median ist kleiner als das arithmetische Mittel der Fernsehstunden.
- Aussage 3: Die Spannweite der Fernsehstunden beträgt 3.
- Aussage 4: Das arithmetische Mittel würde sich erhöhen, wenn Lisa anstelle von 8 Stunden 10 Stunden fernsehen würde.
- Aussage 5: Der Modus ist 8.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Median bzw. Zentralwert
Der Median med ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste.
Arithmetisches Mittel
Lagemaß, errechnet sich aus der Summe aller erhobenen Werte, dividiert durch die Anzahl der Werte.
\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)
Spannweite
Die Spannweite R (engl. range) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der geordneten Datenreihe.
\(R = {x_{{\text{max}}}} - {x_{{\text{min}}}}\)
Modus bzw. Modalwert m
m ... jener Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe (in einer Stichprobe) vorkommt
Lösungsweg
Wir ordnen die 9 Werte der Liste wie folgt: 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8
- Ihr Median ist 4
- Ihr arithmetisches Mittel ist \(\dfrac{{2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 8}}{9} = \dfrac{{27}}{9} \approx 4,11\)
- Ihre Spannweite also maximaler Wert (8) minus minimaler Wert (2) ist 8-2=6
Somit können wir die Aussagen bewerten:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil der Median bei der originalen Liste 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8 gleich dem Median der neuen Liste 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8 nämlich 4 ist.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil der Median mit 4 kleiner als das arithmetische Mittel mit 4,11 ist.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil die Spannweite 6 und nicht 3 beträgt.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil sich dadurch die Summe aller erhobenen Werte von 37 auf 39 erhöht. Für das arithmetische Mittel gilt somit: \(\dfrac{{27}}{9} < \dfrac{{27 + 2 = 29}}{9}\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil der der Wert 5 dreimal und somit am häufigsten vorkommt, während der Wert 8 nur einmal vorkommt.
Ergebnis
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.