Aufgabe 1152
AHS - 1_152 & Lehrstoff: WS 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
Einige der unten angeführten Situationen können mit einer Binomialverteilung modelliert werden.
- Aussage 1: Aus einer Urne mit vier blauen, zwei grünen und drei weißen Kugeln werden drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. (X = Anzahl der grünen Kugeln)
- Aussage 2: In einer Gruppe mit 25 Kindern sind sieben Linkshänder. Es werden drei Kinder zufällig ausgewählt. (X = Anzahl der Linkshänder)
- Aussage 3: In einem U-Bahn-Waggon sitzen 35 Personen. Vier haben keinen Fahrschein. Drei werden kontrolliert. (X = Anzahl der Personen ohne Fahrschein)
- Aussage 4: Bei einem Multiple-Choice-Test sind pro Aufgabe drei von fünf Wahlmöglichkeiten richtig. Die Antworten werden nach dem Zufallsprinzip angekreuzt. Sieben Aufgaben werden gestellt. (X = Anzahl der richtig gelösten Aufgaben).
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens liegt bei 52 %. Eine Familie hat drei Kinder. (X = Anzahl der Mädchen)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige(n) Situation(en) an, bei der/denen die Zufallsvariable X binomialverteilt ist!
Lösungsweg
Wir sollen herausfinden, welche der 5 Situationen mit einer Binomialverteilung modelliert werden können.
- Aussage 1: Richtig, weil
- es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: grüne Kugel / nicht eine grüne Kugel
- n=3, weil drei Kugeln gezogen werden
- die Grundgesamtheit bleibt über alle 3 Ziehungen konstant, da die gezogene Kugel zurückgelegt wird
- Aussage 2: Falsch, weil
- die Grundgesamtheit nicht konstant bleibt. Beim 1. Kind besteht die Wahrscheinlichkeit einen Linkshänder zu ziehen 7/25. Bei zweiten Kind hingegen 6/24 oder 7/24 je nachdem ob man beim 1. Kind schon einen Linkshänder ausgewählt hatte oder nicht.
- Aussage 3: Falsch, weil
- die Grundgesamtheit - wie bei Aussage 2 - nicht konstant bleibt. Es handelt sich auch hier um einen Versuch "ohne zurücklegen".
- Aussage 4: Richtig, weil
- es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Aufgabe richtig / nicht richtig gelöst
- n=7, weil es siebe Aufgaben gibt
- die Grundgesamtheit bleibt über alle 7 Ziehungen konstant. Da bei jeder einzelnen Frage, unabhängig ob man die vorhergehende Frage richtig oder falsch hatte, wieder die konstante Wahrscheinlichkeit 3/5 für eine richtige Antwort beträgt
- Aussage 5: Richtig, weil
- es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Mädchen / kein Mädchen
- n=3, weil die Famile drei Kinder hat
- p=0,52 bleibt konstant, unabhängig davon ob die älteren Geschwister Mädchen sind oder nicht
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.