Aufgabe 1140
AHS - 1_140 & Lehrstoff: WS 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften des arithmetischen Mittels
Gegeben ist das arithmetische Mittel \(\overline x\) von Messwerten.
- Aussage 1: Das arithmetische Mittel teilt die geordnete Liste der Messwerte immer in eine untere und eine obere Teilliste mit jeweils gleich vielen Messwerten.
- Aussage 2: Das arithmetische Mittel kann durch Ausreißer stark beeinflusst werden.
- Aussage 3: Das arithmetische Mittel kann für alle Arten von Daten sinnvoll berechnet werden.
- Aussage 4: Das arithmetische Mittel ist immer gleich einem der Messwerte.
- Aussage 5: Multipliziert man das arithmetische Mittel mit der Anzahl der Messwerte, so erhält man immer die Summe aller Messwerte.
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Eigenschaften treffen für das arithmetische Mittel zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Arithmetisches Mittel bzw. Durchschnittswert
Lagemaß, errechnet sich aus der Summe aller erhobenen Werte, dividiert durch die Anzahl der Werte.
\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)
Der arithmetische Mittelwert, auch als Durchschnittswert bezeichnet, ist das wichtigste Zentralmaß in der beschreibenden Statistik. Man spricht von einem ungewichteten Mittelwert, da alle gemessenen Werte xi mit dem gleichen Gewicht 1/n in den Mittelwert eingehen. Die Summe aller Abweichungen der einzelnen Stichproben vom arithmetischen Mittelwert heben sich auf und sind daher Null. Große Ausreißer in der Stichprobe, asymmetrische oder mehrgipflige Verteilungen beeinflussen das arithmetische Mittel sehr stark und führen zu nicht repräsentativen Aussagen.
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil der Median und nicht das arithmetische Mittel die Liste der geordneten Messwerte in eine untere und eine obere Teilliste mit jeweils gleich vielen Messwerten teilt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil jeder Messwert mit der gleichen Gewichtung (1/n) in das arithmetische Mittel eingeht.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil das arithmetische Mittel nur für diskrete (abzählbare) Messgrößen gebildet werden kann. Der Mittelwert aus der "Schönheit" zweier Bilder eines Künstlers kann nicht gebildet werden, erst wenn man die "Schönheit" mit einem "Euro - Verkaufspreis" bewertet.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil der Mittelwert ein reiner Rechenwert ist. Einfaches Beispiel: Bei zwei unterschiedlichen Werten, muss der Mittelwert zwischen den beiden Werten liegen.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil \(\overline x = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{n} \Leftrightarrow \overline x \cdot n = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Antworten angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.