Aufgabe 1046
AHS - 1_046 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen einer Binomialverteilung
In den untenstehenden Grafiken sind Binomialverteilungen dargestellt.
Zum Weiterlesen bitte aufklappen:
- Grafik 1:
- Grafik 2:
- Grafik 3:
- Grafik 4:
- Grafik 5:
- Grafik 6:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Grafik an, die einer Binomialverteilung mit n = 20 und p = 0,9 zuzuordnen ist!
Lösungsweg
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer.
Sie wird durch 2 Parameter definiert:
- n … Anzahl der Wiederholungen vom Zufallsexperiment
- p .. Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X bei jedem einzelnen der n Versuche
Erwartungswert der Binomialverteilung
\(E\left( x \right) = \mu = n \cdot p\)
1. Lösungsmöglichkeit
Aus der Angabe entnehmen wir, n=20 und p=0,9, somit können wir den Erwartungswert wie folgt berechnen
\(E(x) = \mu = 20 \cdot 0,9 = 18\)
Der Erwartungswert \(E(x) = \mu \) einer Zufallsvariablen X beschreibt den Wert, der im Mittel bei n-facher Wiederholung zu erwarten ist.
Er ist also der Wert, der am häufigsten vorkommt. ⇒ Wir müssen daher jene Grafik suchen, die den höchsten Balken an der Stelle x=18 hat.
- Grafik 1: Diese Grafik hat einen Erwartungswert von 2 und nicht von 18
- Grafik 2: Diese Grafik hat einen Erwartungswert von 5 und nicht von 18
- Grafik 3: Diese Grafik hat einen Erwartungswert von 15 und nicht von 18
- Grafik 4: Das ist die richtige Grafik, denn sie hat einen Erwartungswert von 18
- Grafik 5: Diese Grafik hat einen Erwartungswert von 12 und nicht von 18
- Grafik 6: Diese Grafik hat einen Erwartungswert von 10 und nicht von 18
2. Lösungsmöglichkeit
Lösung durch Technologieeinsatz mit GeoGebra:
- Gegeben:
- n=20
- p=0,9
- Gesucht:
- Balkendiagramm der Binomialverteilung
- Ausführung:
- Syntax: Binomial( <Anzahl der Versuche>, <Erfolgswahrscheinlichkeit> )
- Geogebra Grafik-Ansicht: Binomial(20, 0.9)
- Anmerkung: x-Achse auf 0 .. 22 skalieren; y-Achse auf 0 .. 0,5 skalieren
- Lösung:
- Wir erhalten ein Balkendiagramm, welches der Grafik 4 entspricht
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Grafik 1: Falsch
- Grafik 2: Falsch
- Grafik 3: Falsch
- Grafik 4: Richtig
- Grafik 5: Falsch
- Grafik 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn genau die eine zutreffende Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.