Aufgabe 1770
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Absolute und relative Änderung einer Funktion
Die absolute Änderung einer Funktion f: ℝ → ℝ in einem Intervall [a; b] wird mit A bezeichnet, die relative Änderung von f im Intervall [a; b] wird mit R bezeichnet. Dabei gilt: f(a) ≠ 0 und a < b.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen A und R beschreibt.
Lösungsweg
Für die absolute Änderung gilt:
\(A = f\left( b \right) - f\left( a \right)\)
Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus "oberem Wert" minus "unterem Wert" vom betrachteten Intervall.
Für die relative Änderung gilt:
\(R = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}}\)
Die relative Änderung entspricht der absolute Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie errechnet sich als der Quotient aus der absoluten Änderung und dem Grundwert. Anmerkung: Da f(a) in Nenner steht, wissen wir jetzt auch, warum lt. Angabe f(a) nicht Null werden darf.
Den gesuchten Zusammenhang erhalten wir, indem wir die 1. Gleichung in die 2. Gleichung einsetzen:
\(\eqalign{ & R = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}} = \dfrac{A}{{f\left( a \right)}} \cr & A = R \cdot f\left( a \right) \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(A = R \cdot f\left( a \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.