Aufgabe 1583
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhaltsberechnung
In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Polynomfunktionen f und g dargestellt. Diese schneiden einander an den Stellen –3, 0 und 3 und begrenzen die beiden farblich markierten Flächenstücke.
- Aussage 1: \(A = \left| {\int\limits_{ - 3}^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)\,\,dx} } \right|\)
- Aussage 2: \(A = 2 \cdot \int\limits_0^3 {\left( {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(A = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx + \int\limits_0^3 {\left( {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
- Aussage 4: \(A = \left| {\int\limits_{ - 3}^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)\,\,dx} } \right| + \int\limits_0^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
- Aussage 5: \(A = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx + \left| {\int\limits_0^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx} \right|\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Gleichungen geben den Inhalt A der (gesamten) grau markierten Fläche an? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Lösungsweg
Will man die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen berechnen, die einander schneiden, so muss man grundsätzlich eine Fläche links und eine zweite Fläche rechts vom Schnittpunkt berechnen.
- Am einfachsten ist es, man bildet in beiden Fällen die Fläche indem man "obere minus untere" Funktion rechnet und summiert die beiden Teilflächen anschließend auf.
- Das bedeutet für die rechte Fläche, dass die Reihenfolge der Funktionen umgekehrt zur linken Fläche ist. In unserem Fall: linke Fläche (f(x) - g(x)) während für die rechte Fläche (g(x) - f(x)).
- Diese Vorgehensregel gilt auch dann, wenn Teile der Fläche unterhalb der x-Achse liegen und ist somit eigentlich sehr einfach zu merken
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil zwischen links und rechts von dem Schnittpunkt zu unterscheiden ist.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die beiden Teilflächen links und rechts vom Schnittpunkt nicht gleich groß sind.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil zwischen links und rechts von dem Schnittpunkt unterschieden und in beiden Fällen "obere minus untere" Funktion gerechnet wurde.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil man vom 2. Integral den Betrag hätte nehmen müssen, da dort nämlich "untere minus obere" Funktion gerechnet wurde.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil man vom 2. Integral den Betrag genommen hat, da dort nämlich "untere minus obere" Funktion gerechnet wurde.
Ergebnis
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Gleichungen angekreuzt sind.