Aufgabe 1429
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integrationsregeln
Zwei der nachstehend angeführten Gleichungen sind für alle Polynomfunktionen f und bei beliebiger Wahl der Integrationsgrenzen a und b (mit a < b) richtig.
- Aussage 1: \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + x} \right)} \,\,dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx + \int\limits_a^b {x\,\,dx} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_a^b {f\left( {2 \cdot x} \right)} \,\,dx = \frac{1}{2} \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(\int\limits_a^b {\left( {1 - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx = x - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 4: \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + 2} \right)} \,\,dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} + 2\)
- Aussage 5: \(\int\limits_a^b {\left( {3 \cdot \left( x \right)} \right)} \,\,dx = 3 \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Die Konstantenregel besagt: Einen konstanten Faktor im Integranden kann man vor das Integrationszeichen ziehen. D.h. der Multiplikationsfaktor bleibt beim Integrieren unverändert erhalten.
- Die Summenregel besagt: Das Integral der Summe / der Differenz zweier Funktionen f(x), g(x) ist gleich der Summe / der Differenz der jeweiligen Integrale. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.
- Konstante Integrieren: Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.
- Die Integrationsregel für verkettete Funktionen bzw. die Lineare Substitution besagt: Ist der Integrand eine verkettete lineare Funktion, so schreibt man in den Zähler die Stammfunktion der verketteten linearen Funktion und in den Nenner die Steigung k der linearen Funktion.
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil sie der Summenregel entspricht: \(\int {\left[ {g\left( x \right) + f\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {g\left( x \right)} \,\,dx + \int {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die Integrationsregel für verkettete Funktionen wie folgt lautet: \(\int {f\left( {ax + d} \right)} \,\,dx = \dfrac{{F\left( {ax + d} \right)}}{a}\) wobei a=2 und d=0 ist.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil sie zwar der Differenzenregel für ein unbestimmtes Integral entspricht, aber bei einem bestimmten Integral auch für den Minuenden ( das "x") die beiden Grenzen a, b anzuwenden sind.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil die Summenregel anzuwenden wäre, was für den Summanden "2" nicht korrekt durchgeführt wurde
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil die Konstantenregel besagt, dass man den konstanten Faktor "3" vor das Integral ziehen darf.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Gleichungen angekreuzt sind.