Aufgabe 1177
AHS - 1_177 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erste Ableitung einer Funktion
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2} \cdot {b^3}}}{c}\) mit \(b,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) .
- Aussage 1: \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3} \cdot c - {a^2} \cdot {b^3}}}{{{c^2}}}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3} + 3 \cdot {a^2} \cdot {b^2}}}{{{c^2}}}\)
- Aussage 3: \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
- Aussage 4: \(2 \cdot a\)
- Aussage 5: \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{{{c^2}}}\)
- Aussage 6: \(2 \cdot {a^3}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie denjenigen Term an, der die erste Ableitung f‘ der Funktion f angibt!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Achtung aufpassen: In diesem Beispiel ist „a“ die Variable nach der abgeleitet werden soll, während b und c keine Variable sondern "nur" Konstante sind. Man kann zur Veranschaulichung die Angabe wie folgt umschreiben: \(f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2} \cdot {b^3}}}{c} = {a^2} \cdot \left( {\dfrac{{{b^3}}}{c}} \right) = {a^2} \cdot {\text{Konstante}}\). Auch wenn man versucht ist, zuerst an die Quotientenregel zu denken, kommt nur die viel einfachere Konstanten- oder Faktorenregel zur Anwendung: \(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot c \cr & f'\left( x \right) \cdot c \cr} \)
Lösungsweg
Wir wenden die Konstantenregel wie folgt an:
\(\eqalign{ & f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2} \cdot {b^3}}}{c} = {a^2} \cdot \left( {\dfrac{{{b^3}}}{c}} \right) \cr & f'\left( a \right) = 2 \cdot a \cdot \left( {\dfrac{{{b^3}}}{c}} \right) = \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c} \cr} \)
Nun kennen wir die einzige richtige Ableitung f'(a) für f(a) und müssen diese nur mehr mit den 6 angebotenen Lösungen vergleichen...
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3} \cdot c - {a^2} \cdot {b^3}}}{{{c^2}}} \ne \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3} + 3 \cdot {a^2} \cdot {b^2}}}{{{c^2}}} \ne \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c} = \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil \(2 \cdot a \ne \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{{{c^2}}} \ne \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
- Aussage 6: Diese Aussage ist falsch, weil \(2 \cdot {a^3} \ne \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Aussage 3 ist richtig, weil \(\dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c} = \dfrac{{2 \cdot a \cdot {b^3}}}{c}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau ein Term angekreuzt ist und das Kreuz richtig gesetzt ist.