Aufgabe 1176
AHS - 1_176 & Lehrstoff: AN 1.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bewegung eines Körpers
Bei der Bewegung eines Körpers gibt die Zeit-Weg-Funktion seine Entfernung s (in m) vom Ausgangspunkt seiner Bewegung nach t Sekunden an.
Der Differenzenquotient \(\dfrac{{s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\) gibt seine mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall \(\left[ {{t_1};{t_2}} \right]\) an.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck \({\lim _{{t_2} \to {t_1}}}\dfrac{{s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\) gibt die ______1______ ______2______ an.
1 | |
Momentangeschwindigkeit | A |
Momentanbeschleunigung | B |
durchschnittliche Beschleunigung | C |
2 | |
zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 | I |
zum Zeitpunkt t1 | II |
zum Zeitpunkt t2 | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Die Geschwindigkeit ist definiert als der Quotient aus Weg und Zeit.
- Die Beschleunigung definiert als der Quotient aus Geschwindigkeit und Zeit.
Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate an der Stelle x an und ist wie folgt definiert:
\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Lösungsweg
Aus der vorstehenden Analyse entnehmen wir, dass es sich um die Momentangeschwindigkeit (und nicht eine Beschleunigung) handelt und zwar zum Zeitpunkt t1.
⇒ Der Ausdruck \({\lim _{{t_2} \to {t_1}}}\dfrac{{s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\) gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t1an.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Ausdruck \({\lim _{{t_2} \to {t_1}}}\dfrac{{s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\) gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t1an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.