Aufgabe 1010
AHS - 1_010 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung von Sinus- und Kosinus-Funktion
Gegeben sind vier Funktionen und sechs Ableitungsfunktionen.
A | \(f'\left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
B | \(f'\left( x \right) = 2 \cdot cos\left( x \right) + \sin \left( x \right)\) |
C | \(f'\left( x \right) = 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\) |
D | \(f'\left( x \right) = - \cos \left( x \right) - 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
E | \(f'\left( x \right) = \cos \left( x \right) - 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
F | \(f'\left( x \right) = 2 \cdot \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Funktionen f die richtige Ableitungsfunktion f' (aus A bis F) zu!
Deine Antwort | |
I: \(f\left( x \right) = 2 \cdot cos\left( x \right) - \sin \left( x \right)\) | |
II: \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) | |
III: \(f\left( x \right) = - 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\) | |
IV: \(f\left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
Lösungsweg
Wir differenzieren jede der vier Funktionen und ordnen an Hand der Ableitungsfunktion dann die richtige Antwort zu:
- I: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\\ f'\left( x \right) = 2 \cdot \left( { - \sin \left( x \right)} \right) - \cos \left( x \right) = - 2 \cdot \sin \left( x \right) - \cos \left( x \right) = - \cos \left( x \right) - 2 \cdot \sin \left( x \right) \Rightarrow D \end{array}\)
- II: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\\ f'\left( x \right) = - \sin \left( x \right) + 2 \cdot \cos \left( x \right) = 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right) \Rightarrow C \end{array}\)
- III: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = - 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\\ f'\left( x \right) = - 2 \cdot \left( { - \sin \left( x \right)} \right) - \cos \left( x \right) = 2 \cdot \sin \left( x \right) - \cos \left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right) \Rightarrow A \end{array}\)
- IV: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\\ f'\left( x \right) = - \left( { - \sin \left( x \right)} \right) + 2 \cdot \cos \left( x \right) = \sin \left( x \right) + 2 \cdot \cos \left( x \right) = 2 \cdot \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right) \Rightarrow B \end{array}\)
Dabei kamen folgende Regeln zur Anwendung
Sinus differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)
Kosinus differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)
Produktregel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Deine Antwort | |
I : \(f\left( x \right) = 2 \cdot cos\left( x \right) - \sin \left( x \right)\) | D |
II : \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) | C |
III : \(f\left( x \right) = - 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\) | A |
IV: \(f\left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) | B |
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die vier Zuordnungen richtig erfolgt sind.