Aufgabe 1348
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punktladungen
Der Betrag F der Kraft zwischen zwei Punktladungen q1 und q2 im Abstand r wird beschrieben durch die Gleichung \(F = C \cdot \dfrac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\) (C ... physikalische Konstante).
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Betrag F der Kraft ändert, wenn der Betrag der Punktladungen q1 und q2 jeweils verdoppelt und der Abstand r zwischen diesen beiden Punktladungen halbiert wird!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Wir berücksichtigen, dass es 2 Änderungen gibt:
- beide Ladungen wurde verdoppelt
- der Abstand r wurde halbiert
Im Zuge der Rechnung kommen wir auf einen Doppelbruch: Nur zur Erinnerung: "Außenglied x Außenglied" durch "Innenglied x Innenglied":
\(\dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)
Wir bringen die beiden Änderungen in das sogenannte Coulomb'sche Gesetz ein:
\(\begin{array}{l} {F_1} = C \cdot \dfrac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\\ {F_2} = C \cdot \dfrac{{2 \cdot {q_1} \cdot 2 \cdot {q_2}}}{{{{\left( {\dfrac{r}{2}} \right)}^2}}} = C \cdot \dfrac{{4 \cdot {q_1} \cdot {q_2}}}{{\dfrac{{{r^2}}}{4}}} = C \cdot \dfrac{{\dfrac{{4 \cdot {q_1} \cdot {q_2}}}{1}}}{{\dfrac{{{r^2}}}{4}}} = 4 \cdot 4 \cdot C \cdot \dfrac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}} = 16 \cdot {F_1}\\ {F_2} = 16 \cdot {F_1} \end{array}\)
→ Der Betrag der Kraft F wird 16-mal so groß
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Betrag der Kraft F wird 16-mal so groß.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Weder die Rechnung noch ein Antwortsatz müssen angegeben werden. Die Angabe des Faktors 16 ist ausreichend.