Abitur Gymnasium Bayern
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Aufgaben
Aufgabe 6061
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen \({f_k}:x \mapsto \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {k^2}}}{\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\) .
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ausschließlich anhand des Funktionsterms fk(x), ohne Verwendung von Ableitungen, dass alle Funktionen fk an der Stelle x=0 ein Minimum besitzen.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Weisen Sie nach, dass alle Wendepunkte der Graphen der Schar fk auf einer Parallelen zur x-Achse liegen.
3. Teilaufgabe c) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
In dieser Aufgabe ist k=4. Für jedes \(r \in {{\Bbb R}^ + }\) legen die Punkte \(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,{P_p}\left( {p\left| {{f_4}\left( p \right)} \right.} \right){\text{ und }}{Q_p}\left( {p\left| 1 \right.} \right)\) das Dreieck OPpQp fest. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt Ap in Abhängigkeit von p und ermitteln Sie anschließend denjenigen Wert von p, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks maximal ist.
Teilergebnis: \({A_p} = \dfrac{{8p}}{{{p^2} + 16}}\)
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Aufgabe 6062
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Betrachtet wird die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(w:x \mapsto 13,5 \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{50}} \cdot x} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion w im Intervall \(\left[ { - 25;175} \right]\) in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie an, wie der Graph der Funktion w schrittweise aus dem Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(s:x \mapsto \sin \left( x \right)\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ein quaderförmiges Aluminiumblech besitzt eine quadratische Grundfläche der Seitenlänge 1m und eine Dicke von 2,0 mm. Es wird in einer Maschine zu einem Wellblechelement mit unverändertem Volumen umgeformt (vgl. nachfolgende Abbildung).
Illustration fehlt
Bildquelle: https://www.montana-ag.ch/de/produkte/wellbandprofile/swiss-panel-wellb… Stand 09.08.2023
Von oben betrachtet deckt das Wellblechelement weiterhin ein Quadrat der Seitenlänge 1m ab, seine mittlere Dicke ist folglich geringer als 2,0 mm. Die Profillinie des Wellblechelements kann durch ein Teilstück des Graphen von w beschrieben werden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei 1 mm in der Realität.
Bestimmen Sie die mittlere Dicke des Wellblechelements auf Zehntelmillimeter genau. Verwenden Sie dabei, dass für die Länge l des Funktionsgraphen der Funktion w zwischen den Punkten
\(\left( {a\left| {w\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {w\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b{\text{ gilt: l = }}\int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {w'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\)
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Das Wellblechelement wird auf einer ebenen Dachfläche so angebracht, dass es unmittelbar aufliegt. Der dabei entstehende Hohlraum wird ausgeschäumt. Bestimmen Sie das Volumen, das der Schaum einnimmt; vernachlässigen Sie dabei die Dicke des Wellblechelements.