Aufgabe 6027
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt“ sitzen 30 Senioren im Publikum.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen.
Von den 30 Senioren im Publikum besitzen 24 ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es liegt eine Binomialverteilung mit der Zufallsvariablen X = Anzahl der Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen, vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Senior ein Mobiltelefon besitzt, beträgt:
\(P\left( M \right) = \dfrac{2}{3}\)
- Die Stichprobengröße n ergibt sich zu: n=30
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Senior ein Mobiltelefon hat, bleibt während der 30 Befragungen unverändert bei 2/3.
„Mindestens17 und höchstens 23“ übersetzen wir in „höchstens 23 minus höchstens 16“ wie folgt:
\(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right) = \\ \sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}} - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\\ \\ k = 17\\ m = 23\\ n = 30\\ p = \dfrac{2}{3} \end{array}\)
Somit:
\(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right)\\ P\left( {17 \le X \ge 23} \right) = P\left( {X \le 23} \right) - P\left( {X \le 16} \right) = 0,8264 \buildrel \wedge \over = 82,64\% \end{array}\)
→ Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca 82,63%
Die Lösung erfolgte mittels Technologieeinsatz
GeoGebra → Wahrscheinlichkeitsrechner:
2. Teilaufgabe:
Diesmal müssen wir die „Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge“ berechnen. Ein Blick in die Formelsammlung liefert (die Dichtefunktion der Hypergeometrischen Verteilung bzw.) für Kombinationen ohne Zurücklegen, wenn die Reihenfolge egal ist:
\(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} M\\ x \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {N - M}\\ {n - x} \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} N\\ n \end{array}} \right)}}\)
Mit:
N … Anzahl der Elemente insgesamt (30 Senioren)
M … Anzahl der Elemente, die als Erfolg gelten (24 Mobiltelefonbesitzer)
n … Anzahl der im Rahmen des Experiments gezogenen Elemente (3 Senioren)
x … Anzahl der Treffer (2 Mobiltelefonbesitzer)
Die Wahrscheinlichkeit 2 Senioren mit und 1 Senior ohne Handy bei 3 Ziehungen auszuwählen:
\(\begin{array}{l} P = \dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 1 \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ 3 \end{array}} \right)}} = \\ = \dfrac{{nCr(24,2) \cdot nCr(6,1)}}{{nCr\left( {30,3} \right)}} = \\ = \dfrac{{276 \cdot 6}}{{4060}} \approx 40,79\% \end{array}\)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 40,79%.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca 82,63%
2. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 40,79%.