Aufgabe 6040
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Die Funktion F ist die in \({\Bbb R}\) definierte Stammfunktion von f mit \(F\left( 3 \right) = 0\)
2. Teilaufgabe b) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der Stelle x=2 an.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass \(F\left( b \right) = \int\limits_3^b {f\left( x \right)} \,\,dx{\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir markieren in der Abbildung jene Kästchen, die im Intervall 3 bis 5 unterhalb des Graphen der Funktion und oberhalb der x-Achse liegen.
Wir zählen 8 ganze und 2 halbe Kästchen, in Summe also 9 Kästchen. Der Flächeninhalt jedes Kästchens beträgt \(0,5 \cdot 0,5 = 0,25\) Flächeneinheiten. Somit:
\(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,\,dx = 9 \cdot 0,25 = 2,25\)
→ Der Näherungswert für das gegebene Integral beträgt 2,25 Flächeneinheiten
2. Teilaufgabe
Gesucht ist der Näherungswert für die "Ableitung von F" an der Stelle x=2. F ist die Stammfunkton von f. Die gesuchte "Ableitung von F" ist daher die in der Abbildung dargestellte Funktion f, somit:
\(F'\left( {x = 2} \right) = f\left( {x = 2} \right) = 0,5\)
3. Teilaufgabe
Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) kann berechnet werden, indem man die Differenz der oberen - und der unteren Grenze der Stammfunktion F(x) bildet. Man nennt diesen Zusammenhang die Formel von Newton und Leibnitz. Aus der Angabe kennen wir \(F\left( 3 \right) = 0\), somit ergibt sich:
\(F\left( b \right) = \int\limits_3^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( 3 \right) = F\left( b \right) - 0 = F\left( b \right)\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Näherungswert für das gegebene Integral beträgt 2,25 Flächeneinheiten
2. Teilaufgabe:
\(F'\left( {x = 2} \right) = 0,5\)
3. Teilaufgabe:
Wir erbringen den Nachweis mit Hilfe der Formel von Newton und Leibnitz.