Aufgabe 6038
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Skizzieren Sie im Bereich \( - 1 \leqslant x \leqslant 4\) den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:
- f ist nur an der Stelle x=3 nicht differenzierbar.
- \(f(0) = 2\) und für die Ableitung f‘ von f gilt: \(f'\left( 0 \right) = - 1\)
- Der Graph von f ist im Bereich \( - 1 < x < 3\) linksgekrümmt.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Aus den Angaben entnehmen wir:
- \( - 1 \leqslant x < 3\): linksgekrümmter Graph
-
\(x = 3\) : Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x0 bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Anders formuliert: An der Stelle x=3 muss ein Knick sein, damit die Funktion an dieser einen Stelle eben nicht differenzierbar ist.
- \(3 < x \leqslant 4\): keine Aussage bezüglich der Krümmung, wir wählen ebenfalls einen linksgekrümmten Graphen
- \(f\left( {x = 0} \right) = 2 = d{\text{ und }}f'\left( {x = 0} \right) = - 1 = k \to Tg: - x + 2\)
Wir zeichnen zuerst die Tangente ein, danach den Graph einen linksgekrümmten Funktion, die an der Stelle x=3 einen Knick hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe: