Berechnung von Gleichstromkreisen
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Formeln
Leitungsverluste
Unter den - natürlich unerwünschten - Leitungsverlusten eines elektrischen Netzes versteht man die Verluste zufolge des Widerstands der Zu- und Ableitung, da die realen Stromleiter einen Widerstand größer als Null haben und somit unerwünschte Wärme abgeben. Man berechnet die Leitungsverluste wie folgt
\(\eqalign{ & U = I \cdot R \cr & P = U \cdot I \cr & {P_{Verl}} = \left( {I \cdot {R_{Ltg}}} \right) \cdot I = {I^2} \cdot {R_{Ltg}} \cr} \)
Man erkennt, dass die Verlustleistung entlang einer Leitung mit dem Quadrat des Stroms wächst. Bei gegebenem Leitungswiderstand RLtg resultieren aus einer Verdoppelung des Strom die vierfachen Leitungsverluste PVerl.
Die Leitungsverlusten sind auch der Grund warum sich der Gleichstrom in der elektrischen Energieübertragung nicht durchgesetzt hat, sonder der Wechsel- bzw. Drehstrom die Energieübertragung beherrschen. In elektrischen Netzen, die dem Energietransport vom Erzeugern (Kraftwerk) zum weit entfernten Verbraucher dienen, transformiert man nämlich die Drehstrom-Klemmenspannung des Generators in einem unmittelbar neben dem Generator befindlichen Trafo z.B. um das 10-fache nach oben, wodurch der Strom, der tatsächlich durch die viele Kilometer lange Leitung zum Verbraucher fließt, auf ein Zehntel sinkt, womit wiederum die Verlustleistung entlang der Leitung auf ein Hundertstel sinkt. Beim Verbraucher muss man die Spannung wieder runter transformieren, damit sie für dessen Motoren verwendbar wird.
Auf der einen Seite hat man die Kosten für 2 Trafos und die gestiegenen Isolationskosten zufolge der Hochspannung auf der Leitung, auf der anderen Seite hat man die Ersparnis durch die quadratische Absenkung der Leitungsverluste.
Eine Reduktion des Leiterwiderstands RLtg durch eine Erhöhung des Leiterquerschnitts wirkt nur linear und nicht quadratisch wie die Reduktion vom Strom und ist zufolge der Kupferkosten sowie der Kosten zufolge der mit dem Leitergewicht gestiegenen mechanischen Anforderungen an die Leitungsmaste, nur bis zu einem gewissen Leiterdurchmesser sinnvoll.
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Elektrische Arbeit bzw. elektrische Energie
Die elektrische Arbeit, bzw. die bezogene elektrische Energie ist das Produkt aus Spannung, Stromstärke und Zeit. Somit ist sie auch das Produkt aus Leistung und Zeit. Ihre Einheit ist die Wattstunde Wh, das Tausendfache ist die kWh.
\(W = Q \cdot U = I \cdot U \cdot t = P \cdot t = \dfrac{{{U^2}}}{R} \cdot t = {I^2} \cdot R \cdot t\)
Beispiel zum Zusammenhang Leistung, Arbeit, Energie, Energiekosten:
Eine 60 W Glühlampe leuchtet 10 Stunden lang, dann beträgt die bezogene Energie \(W = 60W \cdot 10h = 600Wh = 0,6kWh\)
Damit ein Haushalt 0,6 kWh an elektrischer Energie beziehen kann, muss in einem Kraftwert eine Turbine eine mechanische Arbeit von 0,6 kWh erbringen, indem sie den Rotor vom Stromgenerator dreht. Damit die Turbine ihrerseits diese Arbeit erbringen kann, muss z.B. eine entsprechende Menge Wasser über eine bestimmte Höhe herabfallen und zufolge Umwandlung von potentieller in kinetische Energie die Turbine drehen.
Bei 8 Cent / kWh errechnen sich die Energiekosten zu: \(0,6\,\,kWh \cdot 8\dfrac{{Cent}}{{kWh}} = 4,8\,\,Cent = 0,048\,\,\mbox{€}\)
So setzt sich die Stromrechung in Abhängigkeit von der bezogenen Energie zusammen:
Aus der bezogenen elektrischen Energie errechnet sich der jährliche Strompreis eines Haushalts wie folgt:
- Da wären einmal die Kosten für die bezogene Energie als Produkt aus dem Stromtarif in Cent pro kWh (ca. 8 Cent/kWh) und der bezogenen Energie in kWh (z.B.: 6.000 kWh pro Jahr, für ein 4 Personen 200 m² Einfamilienhaus) gemessen durch einen Zähler im Haus. Seit der Deregulierung des Strommarkts kann dieser Energielieferant "irgendwo" seinen Strom erzeugen, sogar im Ausland. Nur an diesen Kosten ändert sich etwas, wenn man den Anbieter wechselt, oder wenn man im Zuge einer Werbekampagne "Gratisstrom" bekommt.
- Dazu kommen die Kosten für die Nutzung des Stromnetzes, die in einer ähnlichen Größenordnung wie die reinen Energiekosten liegen. Das Stromnetz gehört immer dem lokalen Netzanbieter.
- Dazu kommen (in Österreich) noch die Elektrizitätsabgabe und die Ökostromförderung, die etwa im Bereich von 50% der reinen Energiekosten liegen. Mit dieser Förderung subventioniert der Stromverbraucher die Erzeugung von Ökostrom.
Kapazität eines Kondensators
Kapazität ist die Fähigkeit einer Komponente elektrische Energie in Form von elektrischer Ladung aufzunehmen und zu speichern. Die Kapazität eines Kondensators hängt von seiner Bauform ab. Die Kapazität ist direktproportional zur elektrischen Feldkonstante und zur Plattenfläche und indirekt proportional zum Plattenabstand. Über weite Strecken parallel verlaufende Leiter, etwa die Leiterseile einer Hochspannungsleitung, stellen ungewollt eine Kapazität dar, was durch Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung zur Umwandlung von gewünschter Wirk- in unerwünschte Blindleistung führt.
\(C = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \dfrac{A}{d}\)
Farad F
Farad F ist die Einheit für die Kapazität C. Ein Kondensator hat 1 Farad Kapazität, wenn ihn ein Strom von 1 A innerhalb von 1 Sekunde auf eine Spannung von 1 Volt auflädt. Ein Farad ist ein sehr hoher Wert. In der Elektronik treten Kapazitäten im Bereich von Mikro- bis Pikofarad auf. Super- und Ultrakondenstoren werden in der Energietechnik, etwa in unterbrechungsfeien Stromversorgungen oder in Hybridautos, eingesetzt um hohe Leistungen (Megawatt) für sehr kurze Zeiten (wenige Sekunden) für viele Entladezyklen zur Verfügung zu stellen.
\(\left[ C \right] = F = \dfrac{{A \cdot s}}{V} = \dfrac{C}{V}\)
Reihenschaltung von Kondensatoren
Die Gesamtkapazität von in Reihe geschalteten Kondensatoren ist kleiner als die kleinste Einzelkapazität. Der Kehrwert der Gesamtkapazität ist die Summe der Kehrwerte der einzelnen Kapazitäten.
\(\eqalign{ & \dfrac{1}{{{C_{ges}}}} = \dfrac{1}{{{C_1}}} + \dfrac{1}{{{C_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{C_n}}} \cr & \cr & n = 2 \cr & {C_{ges}} = \dfrac{{{C_1} \cdot {C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} \cr} \)
Parallelschaltung von Kondensatoren
Die Gesamtkapazität von parallel geschalteten Kondensatoren entspricht der Summe der Einzelkapazitäten.
\({C_{ges}} = {C_1} + {C_2} + ... + {C_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}} \)
Verhalten eines Kondensators im Gleichstromkreis
Schaltet man einen ungeladenen Kondensator im Gleichstromkreis zu, so springt der Strom im Einschaltzeitpunkt auf einen maximalen Ladestrom, der gemäß einer e-Funktion gegen Null abklingt. Umgekehrt steigt die Spannung von Null weg bis zu einem Maximalwert an. Nach diesem einmaligem Ladevorgang ist der Stromfluss erloschen und der Gleichstrom-Widerstand vom Kondensator ist so hoch, dass er den Stromkreis unterbricht. Entfernt man die Ladespannung so bleibt der Kondensator geladen (bzw. entlädt sich zufolge von Kriechströmen langsam).
Anmerkung: Obwohl wir einen Gleichstromkreis betrachten, ändern sich während des Lade- bzw. Entladevorgangs die Werte von Strom und Spannung mit der Zeit.
Induktivität einer Spule
Die Induktivität einer Spule hängt von ihrer Bauform ab. Sie ist direkt proportional zur Windungszahl N und zum (verketteten) magnetischen Fluss und indirekt proportional zur Stromstärke I.
\(L = N \cdot \dfrac{\Phi }{I} = \dfrac{\Psi }{I}\)
Henry (H)
Henry H ist die Einheit der magnetischen Induktivität L. Die magnetische Induktivität L ist eine Eigenschaft einer Spule und hängt nur von deren Bauform ab. Eine Spule hat dann eine magnetische Induktivität von 1 Henry, wenn bei einer gleichförmigen Stromänderung in Höhe von einem Ampere innerhalb einer Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt induziert wird.
\(\left[ L \right] = H = \dfrac{{V \cdot s}}{A}\)
Reihenschaltung von Spulen
Die Gesamtinduktivität von in Reihe geschalteten Spulen ist gleich der Summe der einzelnen Induktivitäten
\({L_{ges}} = {L_1} + {L_2} + ... + {L_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{L_i}} \).
Parallelschaltung von Spulen
Die Gesamtinduktivität von parallel geschalteten Spulen ist kleiner als die kleinste Einzelinduktivität
\(\eqalign{ & \dfrac{1}{{{L_{ges}}}} = \dfrac{1}{{{L_1}}} + \dfrac{1}{{{L_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{L_n}}} \cr & \cr & n = 2 \cr & {L_{ges}} = \dfrac{{{L_1} \cdot {L_2}}}{{{L_1} + {L_2}}} \cr} \)
Verhalten einer Spule im Gleichstromkreis
Wird eine Gleichspannung über einen Vorwiderstand RV an eine Spule geschaltet, so beginnt ein Strom durch die Spule zu fließen. Direkt nach dem Einschalten stellt die Spule eine Unterbrechung im Gleichstromkreis dar, die Spannung hingegen springt auf die Erregerspannung hoch.Der langsam ansteigende Strom induziert gemäß der lenzschen Regel (die bei Gleichstrom nur bei dynamischen Vorgängen anzuwenden ist) eine Spannung in der Spule, die der erregenden Spannung entgegengesetzt ist und diese letztlich kompensiert. Der Strom in der Spule steigt umso langsamer an, je größer L und je kleiner R ist. Die ideale Spule (Widerstand =0) stellt nach Abklingen der Selbstinduktion einen Kurzschluss dar, beziehungsweise steigt der reale Strom begrenzt auf \(I = \dfrac{U}{{{R_V}}}\) an. Im magnetischen Feld der Spule wird so Energie gespeichert.
Illustration vom Verlauf von Strom und Spannung während des Einschwingvorgangs nach dem Schließen eines Gleichstromkreises.
Anmerkung: Obwohl wir einen Gleichstromkreis betrachten, ändert sich während des Lade- bzw. Entladevorgangs die Werte von Strom und Spannung mit der Zeit.