Aufgabe 29
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + \left( {2 + 3i} \right) \cdot \left( { - 1 + 5i} \right) - \dfrac{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}{{1 - 2i}}\)
Lösungsweg
Es ist eine komplexe Zahl zu potenzieren. Die binomischen Formeln vereinfachen den Rechenweg. Wir benötigen 3 Nebenrechnungen.
1. Nebenrechnung:
\({w_1} = {\left( {3 - 2i} \right)^3} =\)
Gemäß der "Binomischen Formel" gilt:
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3}\)
\(\eqalign{ & = {3^3} - 3 \cdot 9 \cdot 2i + 3 \cdot 3{(2i)^2} - {(2i)^3} = \cr & = 27 - 54i - 9 \cdot 4 + 8i = \cr & = - 9 - 46i \cr}\)
2. Nebenrechnung:
\({w_2} = \left( {2 + 3i} \right) \cdot \left( { - 1 + 5i} \right) =\)
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen
\(\eqalign{ & = - 2 + 10i - 3i + 15{i^2} = \cr & = - 2 - 15 + 7i = \cr & = - 17 + 7i \cr}\)
3. Nebenrechnung:
\(\eqalign{ & {w_3} = \dfrac{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}{{1 - 2i}} = \cr & = \dfrac{{\left( {4 + 4i + {i^2}} \right)}}{{1 - 2i}} = \cr & = \dfrac{{4 - 1 + 4i}}{{1 - 2i}} = \cr}\)
Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{{3 + 4i}}{{1 - 2i}} \cdot \dfrac{{1 + 2i}}{{1 + 2i}} = \cr & = \dfrac{{3 + 6i + 4i + 8{i^2}}}{{1 + 2i - 2i - 4{i^2}}} = \cr & = \dfrac{{3 - 8 + 10i}}{{1 + 4}} = \cr & = \dfrac{{ - 5 + 10i}}{5} = \cr & = - 1 + 2i \cr}\)
Hauptrechnung:
\(\eqalign{ & w = {w_1} + {w_2} - {w_3} = \cr & = ( - 9 - 46i) + ( - 17 + 7i) - ( - 1 + 2i) = \cr & = - 9 - 46i - 17 + 7i + 1 - 2i \cr & w = - 25 - 41\,i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = - 25 - 41i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.