Aufgabe 28
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + {\left( {2 + 3i} \right)^2} - \left( { - 3 - 23i} \right)\)
Lösungsweg
Es ist eine komplexe Zahl zu potenzieren. Die binomischen Formeln vereinfachen den Rechenweg
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + {\left( {2 + 3i} \right)^2} - \left( { - 3 - 23i} \right) =\)
Gemäß der "Binomischen Formel" gilt:
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3}; \cr & {(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}; \cr}\)
\(= \left( {{3^3} - 3 \cdot {3^2} \cdot 2i + 3 \cdot 3{{(2i)}^2} - {{(2i)}^3}} \right) + \left( {{2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 3i + {{(3i)}^2}} \right) - \left( { - 3 - 23i} \right) =\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^3} = - i;{\text{ }}{i^2} = - 1;\)
\(\eqalign{ & = (27 - 54i - 36 + 8i) + (4 + 12i - 9) + 3 + 23i = \cr & = ( - 9 - 46i) + ( - 5 + 12i) + 3 + 23i = \cr & = ( - 9 - 5 + 3) + ( - 46i + 12i + 23i) = \cr & = - 11 - 11i \cr & w = - 11(1 + i) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = - 11 \cdot (1 + i)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.