Aufgabe 27
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( { - 2 + i} \right)^3}\)
Lösungsweg
Es ist eine komplexe Zahl zu potenzieren. Die binomischen Formeln vereinfachen den Rechenweg
\(w = {\left( { - 2 + i} \right)^3} =\)
Wir heben das "Minus" heraus gemäß:
\(\left( { - a + b} \right) = - \left( {a - b} \right)\)
\(= -{(2 - i)^3} =\)
Gemäß den "Binomischen Formeln" gilt:
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\(= - 1(8 - 3 \cdot 4i + 3 \cdot 2{i^2} - {i^3}) =\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^3} = - i;{\text{ }}{i^2} = - 1;\)
\(\eqalign{ & = - (8 - 12i - 6 + i) = - (2 - 11i) \cr & w = - 2 + 11\,i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = - 2 + 11\,i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.