Aufgabe 21
Division komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1}/{z_2} \cr & {z_1} = 2 - 3i \cr & {z_2} = 3 - 2i \cr}\)
Lösungsweg
Es kommen die Rechenregeln für die Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen zur Anwendung. Bei der Division komplexer Zahlen erweitert man mit der konjugiert komplexen Zahl vom Nenner gemäß:
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} \cdot \dfrac{{\overline {{z_2}} }}{{\overline {{z_2}} }}\)
\(w = \left( {2 - 3i} \right)/\left( {3 - 2i} \right) =\)
Division als Bruch anschreiben und dann den Zähler und den Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{{2 - 3i}}{{3 - 2i}} \cdot \dfrac{{3 + 2i}}{{3 + 2i}} = \cr & = \dfrac{{6 + 4i - 9i - 6{i^2}}}{{9 + 6i - 6i - 4{i^2}}} = \cr}\)
Gemäß der "Definition der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{6 - 5i + 6}}{{9 + 4}} = \cr & = \dfrac{{12 - 5i}}{{13}} \cr & w= \dfrac{{12}}{{13}} - \dfrac{5}{{13}}i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = \dfrac{{12}}{{13}} - \dfrac{5}{{13}}i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.