Aufgabe 18
Division komplexer Zahlen
Zeige:
\(\overline {\left( {\dfrac{1}{z}} \right)} = \dfrac{1}{{\overline z }}\)
Lösungsweg
Wir sollen beweisen, dass die Gleichung eine wahre Aussage darstellt.
\(\overline {\left( {\dfrac{1}{z}} \right)} = \dfrac{1}{{\overline z }}\)
Wir betrachten die beiden Seiten der Gleichung getrennt und zeigen, dass gilt: linke Seite = rechte Seite
Linke Seite:
\(\eqalign{ & \overline {\left( {\dfrac{1}{z}} \right)} = \cr & = \overline {\left( {\dfrac{1}{{a + bi}}} \right)} = \cr & = \overline {\left( {\dfrac{{1 + 0i}}{{a + bi}}} \right)} = \cr & = \overline {\left( {\dfrac{1}{{a + bi}} \cdot \dfrac{{a - bi}}{{a - bi}}} \right)} = \cr & = \overline {\left( {\dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)} = \cr & = \overline {\left( {\dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \dfrac{{bi}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)} = \cr}\)
Gemäß der Formel "Konjugiert komplexe Zahlen" gilt:
\(\overline z = a - bi\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = \cr & = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)}}{{\left( {a + bi} \right) \cdot (a - ib)}} = \cr & = \dfrac{1}{{a - ib}} \cr}\)
Rechte Seite:
\(\eqalign{ & \dfrac{1}{{\overline z }} = \cr & = \dfrac{1}{{\overline {a + ib} }} = \cr}\)
Gemäß der Formel "Konjugiert komplexe Zahlen" gilt:
\(\overline z = a - bi\)
\(= \dfrac{1}{{a - ib}}\)
→ somit: linke Seite = rechte Seite was zu beweisen war
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
linke Seite = rechte Seite
\(\dfrac{1}{{a - ib}} = \dfrac{1}{{a - ib}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn gezeigt wird, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung ident sind und die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.