Aufgabe 15
Multiplikation komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1} \cdot {z_2} \cr & {z_1} = (3\sqrt 3 - 3i) \cr & {z_2} = (2\sqrt 3 + 8i) \cr}\)
Lösungsweg
Es sind 2 komplexe Zahlen in der Binomialdarstellung zu multiplizieren.
\(w = (3\sqrt 3 - 3i) \cdot (2\sqrt 3 + 8i) =\)
Ausmultiplizieren
\(\eqalign{ & = \left( {3 \cdot \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \sqrt 3 } \right) + \left( {3 \cdot \sqrt 3 \cdot 8i} \right) - \left( {3i \cdot 2 \cdot \sqrt 3 } \right) - \left( {3i \cdot 8i} \right) = \cr & = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt 3 + 3 \cdot 8 \cdot \sqrt 3 \cdot i - 3 \cdot 2\sqrt 3 \cdot i - 3 \cdot 8{i^2} = \cr}\)
Gemäß der Formel für die "Definition der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(= 6.3 + 24\sqrt 3 \cdot i - 6\sqrt 3 \cdot i + 24 =\)
Realteile zusammenfassen und Imaginärteile zusammenfassen
\(\eqalign{ & = 42 + 18\sqrt 3 \,i \cr & w = 6(7 + 3\sqrt 3 \,i) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = 6 \cdot (7 + 3\sqrt 3 \,i)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.