Monotonie einer Folge
Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (dh das Vorzeichen wechselnd).
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Formeln
Eigenschaften von Zahlenfolgen
Wir haben bereits beschrieben, dass Zahlenfolgen an Hand ihrer Bildungsvorschrift unterschieden werden können. Wir erinnern uns etwa an die arithmetische Folge, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, oder an die geometrische Folge, bei der der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Nachfolgend lernen wir weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen:
Umgebung bzw. Epsilontik
Die Ɛ-Umgebung U(a;Ɛ) einer reellen Zahl a, ist die Menge aller Zahlen x aus \({\Bbb R}\), für die der Betrag der Differenz (a-x) kleiner als Ɛ ist.
\(\eqalign{ & U\left( {a;\varepsilon } \right) = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {a - \varepsilon } \right. < x < a + \varepsilon } \right\} \cr & \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {\left| {a - x} \right|} \right. < \varepsilon } \right\} \cr}\)
Häufungswert von Folgen
Die Zahl h heißt Häufungswert einer Folge ⟨an⟩, wenn in jeder ɛ-Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge liegen. Eine Folge kann auch mehrere Häufungswerte haben.
\(\left| {{a_n} - \eta } \right| < \varepsilon\)
Satz von Bolzano und Weierstraß
Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨an⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.
Grenzwert bzw. Limes
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨an⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)
Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)
Nullfolge
Eine Folge ⟨an⟩ ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert. Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = 0\)
Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge
Konvergenz, Divergenz
Eine Folge ⟨an⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e-Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = g\)
Supremum und Infimum
- Supremum: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, dann heißt die kleinste obere Schranke ihr Supremum.
- Infimum: Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann heißt die größte untere Schranke ihr Infimum.
- Supremum bzw. Infimum müssen selbst nicht zur Folge gehören;
Maximum und Minimum
- Maximum: Das Maximum ist das größte Element der Folge. Jedes Maximum ist ein Supremum.
- Minimum: Das Minimum ist das kleinste Element der Folge. Jedes Minimum ist ein Infimum.
- Maximum und Minimum müssen zur Folge gehören. Supremum und Infimum müssen nicht zur Folge gehören, daher ist nicht jedes Supremum ein Maximum und es ist nicht jedes Infimum ein Minimum.
Beispiel:
\(\left[ {0,1} \right]\) | Infimum=0 | Minimum=0 | Maximum=1 | Supremum=1 |
\(\left] {0,1} \right[\) | Infimum=0 | kein Minimum, weil \({\text{0}} \notin \left] {0,1} \right[\) | kein Maximum, weil \(1 \notin \left] {0,1} \right[\) | Supremum=1 |
Beschränkte und unbeschränkte Folgen
Beschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt.
- obere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach oben beschränkt, wenn eine Zahl O existiert, sodass jedes Glied der Folge kleiner oder gleich O ist.
- untere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach unten beschränkt, wenn eine Zahl U existiert, sodass jedes Glied der Folge größer oder gleich U ist.
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \leqslant M\) | nach oben beschränkte Folge |
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \geqslant m\) | nach unten beschränkte Folge |
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:m \leqslant {a_n} \geqslant M\) | beschränkte Folge |
Unbeschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat. Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt.
- \({\text{Supremum}} = \infty \) : Wenn das Supremum „unendlich“ ist, dann ist die Folge nach oben unbeschränkt
- \({\text{Infimum}} = - \infty \) Wenn das Supremum „minus unendlich“ ist, dann ist die Folge nach unten unbeschränkt
Monotonie einer Folge
Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d.h. das Vorzeichen wechseln).
Der nachfolgende Wert ist ... | ||
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \geqslant {a_n};}\) | monoton wachsend | größer gleich dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} > {a_n};}\) | streng monoton wachsend | größer dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \leqslant {a_n};}\) | monoton fallend | kleiner gleich dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} < {a_n};}\) | streng monoton fallend | kleiner dem vorhergehenden Wert |
Beispiel:
Alternierende Folge:
\({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1,\,\, - 1,\,\,1,\,\, - 1,..\)
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Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion
Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen
- Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- Polstellen und Lücken
- Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
- Symmetrie sowie Periodizität
- Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
- Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
- Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
- Wendepunkte und Sattelpunkte
- Wendetangente
- Krümmungsverhalten und Monotonie
- Charakteristische Wertetabelle
- Graph der Funktion mit Wendetangente(n)
Extremstellen einer Funktion
Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.
- notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
- hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
- Minimum, wenn \(f'' > 0\)
- Maximum, wenn \(f'' < 0\)
Lokaler Extremwert
Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.
Absoluter bzw. globaler Extremwert
Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.
Wendestelle einer Funktion
Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt
An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)
- Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
- Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.
Monotonie von Funktionen
Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.
\(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)
Definitionslücke
Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)
Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.
Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"
Polstelle
Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x0 eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.
- Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
- Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich
Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)
- mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
- der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist
Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert
An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.
- Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert.
- Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert.
- Ist die Funktion an der Stelle x0 stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein.
- Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
In GeoGebra gibt es dafür die Befehle- LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
- RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.
Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.
- Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
- Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
- Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
- Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
- Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
- Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
- Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.
Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel