Eigenschaften von Zahlenfolgen
Wir haben bereits beschrieben, dass Zahlenfolgen an Hand ihrer Bildungsvorschrift unterschieden werden können. Wir erinnern uns etwa an die arithmetische Folge, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, oder an die geometrische Folge, bei der der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Nachfolgend lernen wir weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen:
Umgebung bzw. Epsilontik
Die Ɛ-Umgebung U(a;Ɛ) einer reellen Zahl a, ist die Menge aller Zahlen x aus \({\Bbb R}\), für die der Betrag der Differenz (a-x) kleiner als Ɛ ist.
\(\eqalign{ & U\left( {a;\varepsilon } \right) = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {a - \varepsilon } \right. < x < a + \varepsilon } \right\} \cr & \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {\left| {a - x} \right|} \right. < \varepsilon } \right\} \cr}\)
Häufungswert von Folgen
Die Zahl h heißt Häufungswert einer Folge ⟨an⟩, wenn in jeder ɛ-Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge liegen. Eine Folge kann auch mehrere Häufungswerte haben.
\(\left| {{a_n} - \eta } \right| < \varepsilon\)
Satz von Bolzano und Weierstraß
Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨an⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.
Grenzwert bzw. Limes
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨an⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)
Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)
Nullfolge
Eine Folge ⟨an⟩ ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert. Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = 0\)
Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge
Konvergenz, Divergenz
Eine Folge ⟨an⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e-Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = g\)
Supremum und Infimum
- Supremum: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, dann heißt die kleinste obere Schranke ihr Supremum.
- Infimum: Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann heißt die größte untere Schranke ihr Infimum.
- Supremum bzw. Infimum müssen selbst nicht zur Folge gehören;
Maximum und Minimum
- Maximum: Das Maximum ist das größte Element der Folge. Jedes Maximum ist ein Supremum.
- Minimum: Das Minimum ist das kleinste Element der Folge. Jedes Minimum ist ein Infimum.
- Maximum und Minimum müssen zur Folge gehören. Supremum und Infimum müssen nicht zur Folge gehören, daher ist nicht jedes Supremum ein Maximum und es ist nicht jedes Infimum ein Minimum.
Beispiel:
\(\left[ {0,1} \right]\) | Infimum=0 | Minimum=0 | Maximum=1 | Supremum=1 |
\(\left] {0,1} \right[\) | Infimum=0 | kein Minimum, weil \({\text{0}} \notin \left] {0,1} \right[\) | kein Maximum, weil \(1 \notin \left] {0,1} \right[\) | Supremum=1 |
Beschränkte und unbeschränkte Folgen
Beschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt.
- obere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach oben beschränkt, wenn eine Zahl O existiert, sodass jedes Glied der Folge kleiner oder gleich O ist.
- untere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach unten beschränkt, wenn eine Zahl U existiert, sodass jedes Glied der Folge größer oder gleich U ist.
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \leqslant M\) | nach oben beschränkte Folge |
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \geqslant m\) | nach unten beschränkte Folge |
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:m \leqslant {a_n} \geqslant M\) | beschränkte Folge |
Unbeschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat. Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt.
- \({\text{Supremum}} = \infty \) : Wenn das Supremum „unendlich“ ist, dann ist die Folge nach oben unbeschränkt
- \({\text{Infimum}} = - \infty \) Wenn das Supremum „minus unendlich“ ist, dann ist die Folge nach unten unbeschränkt
Monotonie einer Folge
Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d.h. das Vorzeichen wechseln).
Der nachfolgende Wert ist ... | ||
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \geqslant {a_n};}\) | monoton wachsend | größer gleich dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} > {a_n};}\) | streng monoton wachsend | größer dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \leqslant {a_n};}\) | monoton fallend | kleiner gleich dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} < {a_n};}\) | streng monoton fallend | kleiner dem vorhergehenden Wert |
Beispiel:
Alternierende Folge:
\({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1,\,\, - 1,\,\,1,\,\, - 1,..\)