Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.
Gleichung des Kreises
Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.
\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.
Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)
Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt
Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben
Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)
Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Lagebeziehung Punkt und Kreis
Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegen
Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Kreis
Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.
- Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S1, S2 schneidet.
- Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
- Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.
\(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\) | Mittelpunkt des Kreises |
\(T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right)\) | Berührpunkt der Tangente |
t | Tangente im Berührpunkt |
Berührbedingung Gerade an Kreis
Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spezialfall: M = Ursprung:
\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spaltform der Tangentengleichung des Kreises
Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)
Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)