Integrationsregeln
Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.
Konstantenregel oder Faktorregel
Einen konstanten Faktor im Integrand kann man vor das Integrationszeichen ziehen, wodurch sich die eigentliche Integration vereinfacht. D.h. der Multiplikationsfaktor bleibt beim Integrieren unverändert erhalten.
\(\eqalign{ & y = k \cdot f\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {k \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = k \cdot \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & {\text{wobei }}k \ne 0 \cr} \)
Summen- und Differenzenregel
Das Integral eine Summe bzw. Differenz bildet man, indem man zunächst jeden Summanden einzeln integriert und anschließend die jeweiligen Integrale addiert bzw. subtrahiert. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)\,\,dx} \pm \int {g\left( x \right)\,\,dx} \cr}\)
Partielle Integration (Produktintegration)
Lässt sich der Integrand als das Produkt zweier Funktionen darstellen, kann das Integral bei geschickter Wahl von f(x) bzw. g‘(x) so umgeformt werden, dass es durch bekannte Grundintegrale lösbar wird. Speziell nützlich, wenn die Stammfunktion eines Faktors bereits bekannt ist.
\(\int {f\left( x \right)} \cdot g'\left( x \right)\,\,dx = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx}\)
Die partielle Integration entspricht der Produktregel aus der Differentialrechnung. Auch hier soll das Produkt zweier Funktionen integriert werden. Wenn nach dem Ausmultiplizieren der beiden Faktoren das Integral nicht angemessen lösbar ist, so bietet sich die partielle Integration an, bei der man das Integral in einem Zwischenschritt verändert, natürlich in der Absicht danach einfacher als zuvor integrieren zu können
\(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\)
\(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\)
- 1. Schritt: Einen (beliebigen) Faktor setzt man mit f'(x) gleich, den zweiten Faktor setzt man mit g(x) gleich. Da die Wahl beliebig ist, wählt man für g(x) jenen Faktor dessen Ableitung das in weiterer Folge entstehende Integral vereinfacht.
- 2. Schritt: Den ersten Faktor f'(x) muss man nun integrieren, um f(x) zu erhalten
- 3. Schritt: Den zweiten Faktor g(x) muss man zunächst differenzieren, um g'(x) zu erhalten.
- Zwischenschritt: Die Resultate aus Schritt 1 und 2 in die Formel für H(x) einsetzen
- Der Minuend (vor dem Minus) kann sofort angeschrieben werden, da man zu diesem Zeitpunkt f(x) und g(x) schon kennt
- Der Subtrahend (nach dem Minus) enthält nun das (hoffentlich) einfachere Integral,
- Letzter Schritt: Auffinden des (hoffentlich) einfacheren Integrals. Wenn das nicht gelingt, dann sollte man prüfen, ob man im 1. Schritt die beiden Faktoren nicht umgekehrt zuordnen soll
Integrationsregel für verkettete Funktionen - Lineare Substitution
Ist der Integrand eine verkettete lineare Funktion, so schreibt man in den Zähler die Stammfunktion der verketteten linearen Funktion und in den Nenner die Steigung k der linearen Funktion.
\(\int {f\left( {k \cdot x + d} \right)} \,\,dx = \dfrac{{F\left( {k \cdot x + d} \right)}}{k}\)
F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) und \(k \ne 0\)
Beispiel:
Integrationsregel für verkettete Funktionen:
\(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,\,dx = \dfrac{{\dfrac{1}{4} \cdot {{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{5} = \dfrac{1}{{20}} \cdot {\left( {5x + 3} \right)^4}\)
Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution führt dann zum Ziel, wenn eine Variablentransformation gefunden werden kann, bei der sich ein gegebener Integrand in einen leichter zu integrierenden Term überführen lässt.
\(\int {f\left[ {g\left( x \right)} \right]} .g'\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left( u \right)\,\,du = F\left[ {g\left( x \right)} \right]} + C\)
Substitution: \(u = g\left( x \right){\text{ und }}g'\left( x \right)\operatorname{dx} = du;\)
\(\int {f\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left[ {h\left( u \right)} \right]} .h'\left( u \right)\,\,du}\)
Substitution: \(x = h\left( u \right){\text{ und dx = }}h'\left( u \right)\,\,du\)