Stammfunktion einer Funktion auffinden
"Die Differentiation ist ein Handwerk, die Integration dagegen ist eine Kunst"
Differential- und Integralrechnung hängen eng zusammen: Durch Integration der Ableitungsfunktion f'(x) erhält man die Funktion f(x). Durch Integration der Funktion f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren der Stammfunktion F(x) erhält man die Funktion f(x) und durch Differenzieren der Funktion f(x) erhält man die Ableitungsfunktion f'(x). Bei Differenzieren berechnet man Steigung der Funktion, beim Integrieren berechnet man die Fläche unter der Funktion.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Für viele wichtige Funktionen sind die zugehörigen Stammfunktionen bekannt. Aber selbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d.h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen.
\(\begin{array}{l} \int {f(x)\,\,dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\)
Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x)
Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind. Nachfolgend die für die Sekundarstufe 2 wichtigsten Zusammenhänge:
Stammfunktion F(x) | Funktion f(x) | Ableitungsfunktion f'(x) | |
gängige Funktionen | |||
Konstante Funktion | \(F\left( x \right) = k \cdot x\) | \(f\left( x \right) = k\) | \(f'\left( x \right) = 0\) |
Potenzfunktion | \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\,\,\,\,\,für\,\,n \ne - 1\\ F\left( x \right) = \ln \left( {\left| x \right|} \right)\,\,\,\,\,fü r\,\,n = - 1 \end{array}\) | \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f\left( x \right) = {x^{ - n}} = \dfrac{1}{x} \cr} \) |
\(f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}}\) |
Eulersche Funktion | \(F\left( x \right) = {e^x}\) | \(f\left( x \right) = {e^x}\) | \(f'\left( x \right) = {e^x}\) |
Exponetialfunktion | \(F\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln \left( a \right)}}\) | \(f\left( x \right) = {a^x}\) | \(f'\left( x \right) = \ln \left( a \right) \cdot {a^x}\) |
Logarithmusfunktion | \(F\left( x \right) = x \cdot \ln \left( x \right) - x\) | \(f\left( x \right) = \ln \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) |
Logarithmusfunktion | \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln \left( a \right)}} \cdot \left( {x \cdot \ln \left( x \right) - x} \right)\) | \(f\left( x \right) = {\log _a}\left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln \left( a \right)}}\) |
Sinusfunktion | \(F\left( x \right) = - \cos \left( x \right)\) | \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) |
Kosinusfunktion | \(F\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = - \sin \left( x \right)\) |
Tangensfuntkion | \(F\left( x \right) = - \ln \left( {\left| {\cos \left( x \right)} \right|} \right)\) | \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}}\) |
Rechenregeln: | |||
Konstanten- oder Faktorenregel | \(G\left( x \right) = k \cdot F\left( x \right)\) | \(g\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right)\) | \(g'\left( x \right) = k \cdot f'\left( x \right)\) |
Summen- bzw. Differenzenregel | \(H\left( x \right) = F\left( x \right) \pm G\left( x \right)\) | \(h\left( x \right) = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) | \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right)\) |
Partielle Integration | \(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\) | \(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\) | |
Integration durch Substitutions | \(F\left( x \right) = \int {f\left( {g\left( u \right)} \right)} \cdot g'\left( u \right)\,\,du\) | \(f\left( x \right)\) | |
Sonderfall der Substitutionsregel | \(H\left( x \right) = \ln \left| {f\left( x \right)} \right|\) | \(h\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\) |