Raute bzw. Rhombus
Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Das Quadrat ist daher ein Sonderfall einer Raute. Jede Raute ist zugleich ein spezielles Trapez, Parallelogramm bzw. Deltoid.
- Alle 4 Seiten sind gleich lang
- Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel, die einander gegenüber liegenden Winkel sind gleich groß
- Zwei auf der selben Seite liegende Winkel addieren sich auf 180°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Ist einer der Winkel 90°, so sind alle Winkel 90° und man spricht von einem Quadrat
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt. Die beiden Diagonalen stehen im rechten Winkel auf einander, halbieren einander und sind Winkelsymmetralen
- Alle Höhen in einer Raute sind gleich lang. Ihre Länge entspricht dem Abstand der jeweiligen parallelen Seiten
Umfang der Raute
Der Umfang der Raute entspricht der vierfachen Seitenlänge
\(U = 4 \cdot a = 2 \cdot \sqrt {{e^2} + {f^2}} \)
Höhe der Raute
Die Höhe einer Raute eintspricht dem Abstand von je zwei parallelen Seiten. Alle Höhen der Raute sind gleich lang.
\({h_a} = a \cdot \sin \alpha \)
Winkelsumme in der Raute
Die Summe der Innenwinkel einer Raute beträgt 360°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel ergänzen einander auf 180°, sind also Supplementärwinkel.
\(\alpha = \gamma ,\,\,\,\beta = \delta \)
Flächeninhalt der Raute
Die Fläche einer Raute errechnet sich aus Seite mal zugehöriger Höhe.
\(A = a \cdot {h_a} = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = {a^2} \cdot \sin \alpha \)
Länge der Diagonalen in der Raute
Die Länge der Diagonalen errechnet sich aus dem Zweifachen vom Produkt aus Seitenlänge und dem Kosinus bzw. dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Jede der beiden Diagonalen teilt die Raute in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke.
\(\eqalign{ & e = 2 \cdot a \cdot \cos \frac{\alpha }{2} \cr & f = 2 \cdot a \cdot \sin \frac{\alpha }{2} \cr & {e^2} + {f^2} = 4 \cdot {a^2} \cr} \)
Inkreis einer Raute
Der Radius vom Inkreis einer Raute errechnet sich aus dem halben Produkt aus Seitenlänge und dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Der Inkreisradius ist zugleich der Normalabstand vom Schnittpunkt der Diagonalen zu den vier Seiten der Raute.
\({r_i} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha = \dfrac{{{h_a}}}{2}\)
Illustration einer Raute