Gleichung der Parabel
Die Parabel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und von einer gegebenen Geraden l (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.
\(par:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XF} = \overline {Xl} } \right.} \right\}\)
S | Scheitel |
F | Brennpunkt |
\(e = \overline {SF} \) | Brennweite |
l | Leitgerade |
\(p = 2 \cdot e\) | Parameter |
Illustration einer Parabel
Einfachste Form der Parabel, die Normalparabel
\(y = a \cdot {x^2}\)
Der Parameter a entscheidet über die Form der Parabel
\(\left| a \right| < 1\) | Parabel ist in Richtung der y-Achse gestaucht |
\(\left| a \right| > 1\) | Parabel ist in Richtung der y-Achse gestreckt |
\(a < - 1\) | Schmale, nach unten offene Parabel |
\(a = - 1\) | Nach unten offene Normparabel |
\( - 1 < a < 0\) | Breite, nach unten offene Parabel, Scheitelpunkt ist Hochpunkt |
\(0 < a < 1\) | Breite, nach oben offene Parabel, Scheitelpunkt ist Tiefpunkt |
\(a = 1\) | Normparabel, nach oben offen |
\(a > 1\) | Schmale, nach oben offene Parabel |
Der Parameter c entscheidet über die Verschiebung der Parabel
\({f\left( x \right) = {x^2} + c}\) | Allgemeine Parabel um c nach oben verschoben |
\({f\left( x \right) = {x^2} - c}\) | Allgemeine Parabel um c nach unten verschoben |
\({f\left( x \right) = {{\left( {x + c} \right)}^2}}\) | Allgemeine Parabel um c nach links verschoben |
\({f\left( x \right) = {{\left( {x - c} \right)}^2}}\) | Allgemeine Parabel um c nach rechts verschoben |
Allgemeine Form der Parabel
Der Parameter c heisst y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)
\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Normalform der Parabel
Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der Parabel.
\(y = {x^2} + p \cdot x + q\)
Nullstellenform der Parabel
Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der Parabel genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel überhaupt die x-Achse schneidet.
\(y = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
Parameterdarstellung der Parabel
\(\eqalign{ & x = a \cdot k + {x_0} \cr & y = b \cdot {k^2} + {y_0} \cr} \)
Scheitelpunktform der Parabel
Die Scheitelpunktform der Parabel ermöglicht es direkt den Scheitelpunkt \(S\left( {d\left| e \right.} \right)\) abzulesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt der Parabel.
\(\eqalign{
& y = a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e \cr
& {\text{bzw}}{\text{.:}} \cr
& f(x) = a \cdot {\left( {x - {S_x}} \right)^2} + {S_y} \cr} \)
Für eine allgemeine quadratische Funktion gilt:
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr
& {\text{mit:}} \cr
& S = \left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right) = \left( { - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\left| {c - \dfrac{{{b^2}}}{{4 \cdot a}}} \right.} \right) \cr} \)
Die Scheitelpunktform einer Parabel oder allgemein einer quadratischen Gleichung kann man durch die sogenannte "quadratische Ergänzung" aus der allgemeinen Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) herleiten.
Für den Term \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x\) erhält man wie folgt die quadratische Ergänzung: \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x + {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2}\)
Es gibt 4 verschiedene Hauptlagen der Parabel
- 1. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven x-Achse: \(x={y^2}\)
- 2. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven y-Achse: \(y=x^2\)
- 3. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen x-Achse: \(x=-{y^2}\)
- 4. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen y-Achse: \(y=-x^2\)
Parabeln vom Grad n:
\(f\left( x \right) = {x^n}\)
n=2: Die einfachsten Form einer Potenzfunktion, also einer nichtlinearen Funktion. Der Graph der sogenannten Normalparabel hat einen typischen U-förmigen Verlauf. S(1 | 1) ist ihr Scheitelpunkt.
n=gerade: Graph liegt symmetrisch zur y-Achse:
n=ungerade: Graph liegt symmetrisch zum y-Ursprung:
Lagebeziehung Punkt und Parabel
Ein Punkt kann bezüglich einer Parabel innerhalb, außerhalb oder auf der Parabel liegen
- P liegt innerhalb der Parabel:
\({P_y} < 2 \cdot p \cdot {P_x}\) - P liegt auf der Parabel:
\({P_y} = 2 \cdot p \cdot {P_x}\) - P liegt außerhalb der Parabel:
\({P_y} > 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
Lagebeziehung Gerade und Parabel
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Parabel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente. Im Fall einer Passante gibt es keinen Schnittpunkt und im Fall einer Sekante gibt es zwei Schnittpunkte. Die jeweilige Lösung: keinen oder zwei Schnittpunkte bzw. einen Berührpunkt erhält man, indem man die Geraden- und die Parabelgleichung gleich setzt.
Berührbedingung Gerade an Parabel
Die Berührbedingung der Parabel ergibt sich aus dem Parameter p der Parabel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man zwei Bestimmungsstücke, so kann man das dritte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & par:{y^2} = 2px \cr}\)
\(p = 2dk\)
Spaltform der Tangente an einen Punkt der Parabel
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Parabelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Parabel aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).
\(\eqalign{ & \left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & par:{y^2} = 2 \cdot p \cdot x \cr} \)
\(t:{y_T} \cdot y = p \cdot \left( {x - {x_T}} \right)\)