Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen
Ebenso wie Gleichungen löst man auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen. Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. Bei Ungleichungen unterscheidet man zwischen Äquivalenzumformung mit bzw. ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
Ungleichungen kann man von links nach rechts und von rechts nach links lesen:
\({T_1} > {T_2} \Leftrightarrow {T_2} < {T_1}\)
"Wenn Term 1 größer als Term 2 ist, dann ist Term 2 kleiner als Term 1".
Zwei Ungleichungen mit gleichem Ungleichheitszeichen darf man zusammenfassen
\({T_1} \geqslant {T_2}\,\,\,\,\,{T_3} \geqslant {T_4} \Rightarrow {T_1} + {T_3} \geqslant {T_2} + {T_4}\)
"Wenn T1 größer gleich T2 und wenn T3 größer gleich T4 ist, dann ist auch die Summe aus T1 und T3 größer oder gleich T2 und T4".
Äquivalenzumformung ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Ungleichung nicht.
Addition oder Subtraktion von einer Konstanten oder einem Term auf beiden Seiten der Ungleichung:
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm c < {T_2} \pm c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm {T_3} < {T_2} \pm {T_3} \cr} \)
Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl oder einem positiven Term erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens:
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c < {T_2} \cdot c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot {T_3} < {T_2} \cdot {T_3} \cr} \)
bzw.
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c < {T_2}:c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:{T_3} < {T_2}:{T_3} \cr} \)
Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_2} > {T_1} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c > {T_2} \cdot c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c > {T_2}:c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr}\)
Beispiel:
Gegeben sei folgende Ungleichung
\(- 4 \cdot x + 6 < 14\)
Wir subtrahieren 6 von beiden Seiten der Ungleichung → keine Umkehrung vom Ungleichheitszeichen
\(\eqalign{ & - 4 \cdot x + 6 - 6 < 14 - 6 \cr & - 4 \cdot x < 8 \cr} \)
Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch -4 → Umkehrung vom Ungleichheitszeichen erforderlich!
\(\eqalign{ & - 4 \cdot x < 8\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 4} \right)} \right. \cr & x > \frac{8}{{ - 4}} \cr & x > - 2 \cr} \)