Grundlagen der Wirtschaftsmathematik

Zinseszinsrechnung

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen am Ende der Zinsperiode dem Kapital einmalig zugeschlagen, sodass sie in der darauffolgenden Zinsperiode mit verzinst werden. Der Aufzinsungsfaktor q gibt an, um welchen Faktor ein Kapital innerhalb einer Zinsperiode bei einem Zins von p anwächst.

Aufzinsungsfaktor

\(q = 1 + i\)

mit \(i = \dfrac{p}{{100\% }}{\rm{ und }}\left[ i \right] = \left[ q \right] = 1\)

Bei einer n-jährigen Veranlagung mit Zinseszins beträgt der Aufzinsungsfaktor qⁿ.

Beispiel:
\({\text{p = 5% }} \to {\text{i = 0}}{\text{,05}} \to {\text{q = 1}}{\text{,05}}\)

Endkapital K_n gesucht

→ Die Aufzinsung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital K_n man erhalten wird, wenn man das Anfangskapital K₀ bei einem Zins von p% für n Jahren anlegt.

\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\)

Beispiel:

K₀=12.500€ … Anfangskapital

P=2,75% … Zins in %

n=1 Jahr und 9 Monate bzw. 21/12 … Laufzeit in Jahren

\(\eqalign{ & {K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)^n} \cr & {K_{\frac{{21}}{{12}}}} = 12500 \cdot {\left( {1 + \frac{{2,75}}{{100}}} \right)^{\frac{{21}}{{12}}}} \approx 13107,75 \cr} \)

Anfangskapital K₀ gesucht

→ Die Diskontierung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung welches Kapital K₀ man anlegen muss, um bei einem Zinssatz von p% nach n Jahren über das Endkapital von K_n zu verfügen.

\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = \dfrac{{{K_n}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}^n}}}\)

Beispiel:

K_n=742€ .. Endkapital

p=3% ... Zins in %

n=5 Jahre ... Laufzeit

\(\eqalign{ & {K_0} = \frac{{{K_n}}}{{{q^n}}} \cr & p = 3\% \to i = 0,03 \to q = 1,03 \cr & {K_0} = \frac{{742}}{{{{1,03}^5}}} \approx 640,05 \cr} \)

Laufzeit n gesucht

→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung für wie viele Jahre n man ein Anfangskapital K₀ bei einem Zins von p% veranlagen muss, damit man das Endkapital K_n erhält.

\(n = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log q}} = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}}\)

Zins p in % gesucht

→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung, welcher Zins erwirtschaftet werden muss, damit nach n Jahren aus dem Anfangskapital K₀ das Endkapital K_n wird.

\(p = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100\)

Unterjährige Raten

Für unterjährige Raten gilt
\(\eqalign{ & {i_p} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} - 1 \cr & {i_m} = \root {\frac{m}{p}} \of {{i_p} + 1} - 1 \cr & \cr & r = 1 + i = {(1 + {i_m})^m} \cr & {r_p} = \root p \of r = \root p \of {{{\left( {1 + {i_m}} \right)}^m}} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} \cr & \cr & {B_{{\text{nachsch }}}} = R \cdot \frac{{1 - {r_p}^{ - n}}}{{{i_p}}} \cr & {B_{{\text{vorsch = }}}}R \cdot \frac{{1 - {r_p}^{ - n}}}{{{i_p}}} \cdot {r_p} \cr & \cr & {E_{{\text{nachsch }}}} = R \cdot \frac{{{r_p}^n - 1}}{{{i_p}}} \cr & {E_{{\text{vorsch }}}} = R \cdot \frac{{{r_p}^n - 1}}{{{i_p}}} \cdot {r_p} \cr} \)

mit

Unterjährige Verzinsung

Bei der unterjährigen Verzinsung ist die Anlagedauer ein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode. Die Zinsen werden dabei mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen, z.B. Verzinsungsperiode = vierteljährig → Zinsen werden an jedem Quartalsende dem Kapital zugeschlagen

\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}}\)

\({p_m} = \dfrac{p}{m}\)

Beispiel:
\(\eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100 \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & m = 4{\text{ }}...{\text{ Quartalsweise Verzinsung}} \cr & \to {\text{ }}{{\text{p}}_m} = \dfrac{{12\% }}{4} = 3\% \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}} \cr & {K_n} = 100 \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{4 \cdot 1}} = 112,55 \cr} \)

Da bei der unterjährigen Verzinsung die Zinsen nach jedem Quartal dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls verzinst werden, rechnen wir nun noch aus wie hoch der Effektivzinssatz ist. Wir nützen dabei die weiter oben stehende Formel "Zins in % gesucht"
\(\eqalign{ & {p_{eff}} = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100 \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112.55}}{{100}}} - 1} \right)*100 = 12,55\% \cr} \)

→ Durch die unterjährige Verzinsung ist der Effektivzinssatz mit 12,55% tatsächlich höher als der nominelle Jahreszinssatz von 12%

Gemischte Verzinsung

Bei der gemischten Verzinsung ist die Anlagedauer kein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode

\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{{n_v}}} \cdot \left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}} \cdot {n_r}} \right)\)

\({n_r} = \dfrac{{{\text{Anzahl der Monate der angebrochenen Verzinsungsperiode}}}}{{{\text{Anzahl der Monate einer vollern Verzinsungsperiode}}}}\)

Kosten- und Preistheorie

In der Kosten- und Preistheorie versucht man Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne durch einfache mathematische Funktionen zu modellieren. Es handelt sich dabei um ein Teilgebiet der Mikroökonomie, welches die Preisbildung als Folge des Aufeinandertreffens von Angebot und Nachfrage auf verschiedenen Märkten untersucht.

Die wichtigsten Funktionen sind die

Einfache Verzinsung

Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen einmalig für die gesamte Laufzeit vom Anfangskapital K₀ berechnet. Es wird daher nur das Angangskapital verzinst, die Zinsen selbst werden nicht verzinst.Bei "einfacher Veranlagung" werden die jährlichen Zinsen im darauffolgenden Jahr nicht wieder mitverzinst, sondern zuvor ausbezahlt. Der jährliche (einfache) Zins Z (in €, $,..) ohne Zinseszins, ist proportional dem Anfangskapital K₀ , sowie dem Zinssatz p in %, sowie der Laufzeit n in Jahren.

Zins ohne Zinseszins

Der Zins ohne Zinseszins errechnet sich aus dem Produkt vom Anfangskapital multipliziert mit der Laufzeit in Jahren und dem Zinssatz in Prozent dividiert durch 100.

Nachfolgende Formel dient der Beantwortung der Fragestellung, wie viel Zinsen Z in € man ohne Zinseszinsen (=einfache Verzinsung) erhält, wenn man das Anfangskapital K₀ für die Dauer von n Jahren bei einem Zinssatz von p% veranlagt.

\(Z = {K_0} \cdot \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}}\)

Beispiel
Welche Kredithöhe kann bei einer Bank aufnehmen, wenn man bereit ist 720€ an Zinsen in einem Jahr zu bezahlen?
\(\eqalign{ & Z = 720\mbox{€} \cr & p = 4\% \cr & n = 1 \cr & {K_0} = ? \cr & \cr & Z = {K_0} \cdot \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}} \to {K_0} = Z \cdot \dfrac{{100\%}}{{p \cdot n}} \cr & {K_0} = 720\mbox{€} \cdot \dfrac{{100}}{4} = 18.000\mbox{€} \cr} \)

Endkapital ohne Zinseszins

Das Endkapital ohne Zinseszins errechnet sich aus dem Anfangskapital multipliziert mit der Summe aus 1 plus der Laufzeit in Jahren mal dem Zins in Prozent dividiert durch 100.

Das Endkapital K_n ist die Summe aus dem Anfangskapital und dem Zins. Das Endkapital ohne Zinseszins dient der Bewertung von Finanztransaktionen mit kurzen Laufzeiten. Die erzielten Zinsen werden dabei dem Anfangskapital K₀ nicht für eine weitere Verzinsung hinzugerechnet. Dies steht im Gegensatz zur Zinseszinsrechnung, bei der eine exponentielle Verzinsung stattfindet, was vor allem bei langfristigem Investment von entscheidender Bedeutung ist.

Nachfolgende Formel dient der Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital K_n man ohne Zinseszinsen erhält (=einfache Verzinsung), wenn man das Anfangskapital K₀ für die Dauer von n Jahren bei einem Zinssatz von p% veranlagt.

\({K_n} = {K_0} \cdot \left( {1 + \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}}} \right)\)

Beispiel

\(\eqalign{ & {K_0} = 400\,\,\mbox{€} {\text{ }}...{\text{ Anfangskapital}} \cr & n = \dfrac{5}{{12}}{\text{ }}...{\text{ Laufzeit beträgt 5 Monate}} \cr & p = 6\% {\text{ }}...{\text{ Zinssatz in % }} \cr & {K_n} = {K_0} \cdot \left( {1 + \dfrac{{p \cdot n}}{{100}}} \right) \cr & {K_{\dfrac{5}{{12}}}} = 400 \cdot \left( {1 + \dfrac{{6 \cdot \dfrac{5}{{12}}}}{{100}}} \right) = 410\,\,\mbox{€} \cr} \)

Tagesgeld

Ein Tagesgeldkonto ist ein fest verzinstes Konto, auf das bzw. von dem der Kontoinhaber täglich in beliebiger Höhe einzahlen und abheben kann. Ein Tagesgeldkonto hat keine Laufzeit. Der Zinssatz ist wesentlich geringer als bei Veranlagungen mit fixer Laufzeit, da die Bank das Geld kaum reinvestieren kann, da es ja jederzeit wieder abgehoben werden kann.

Ein Bankjahr hat dabei fix 360 Tage bzw. 12 Monate zu je fix 30 Tagen

\(\eqalign{ & {Z_d} = Z \cdot \dfrac{d}{{360}} = {K_0} \cdot \dfrac{p}{{100\%}} \cdot \dfrac{d}{{360}} \cr & {K_0} = {Z_d} \cdot \dfrac{{100\%}}{p} \cdot \dfrac{{360}}{d} \cr} \)

Beispiel
Ein Kapital von 7.000€ wird für die Dauer von 3 Monaten zu einem Zinssatz von 0,75% für täglich fälliges Geld veranlagt. Wie hoch belaufen sich die Zinsen?
\(\eqalign{ & {K_0} = 7000\mbox{€} \cr & p = 0,75\% \cr & d = 90 \cr & {Z_{d = 90}} = ? \cr & \cr & {Z_{90}} = 7000\mbox{€} *\frac{{0.75}}{{100}}*\frac{{90}}{{360}} = 13,125\mbox{€} \cr} \)

Kostenfunktion

Die Kostenfunktion, auch Gesamtkostenfunktion genannt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den gesamten dafür anfallenden Kosten. Sie gibt also an, wie viel es in Summe kostet x-Stück zu produzieren. Die Gesamtkosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen.

\(K\left( x \right) = {K_f} + {K_v}\left( x \right)\)

Fixkosten

Fixkosten sind Kosten die auch dann anfallen, wenn nicht produziert wird. Sie sind von der Höhe der Erzeugung unabhängig. \({K_{fix}} = K\left( 0 \right) > 0\)

Variable Kosten

Variable Kosten sind Kosten, die von der produzierten Mengeneinheit abhängen. \(K'\left( x \right) > 0\) daraus folgert, dass die Kosten streng monoton steigen.

Deckungsbeitrag

Der Deckungsbeitrag sind jene Einnahmen, die nach Abzug der variablen Kosten von den Verkaufsnettoerlösen übrig bleiben. Der Deckungsbeitrag gibt an, wie viel ein verkauftes Stück zur Deckung der Fixkosten beiträgt. Ist der Deckungsbeitrag negativ, dann verliert das Unternehmen Geld bei jedem zusätzlich verkauften Stück.

\(D\left( x \right) = E\left( x \right) - {K_v}\left( x \right)\)

Der Deckungsbeitrag ist der Beitrag der Erlöse zur Deckung der Fixkosten. Der Deckungsbeitrag ist Null, wenn man durch die Erlöse nur mehr die variablen Kosten decken kann, aber kein Beitrag zur Deckung der Fixkosten übrigbleibt. Erwirtschaftet ein Geschäft keinen Deckungsbeitrag, macht es wirtschaftlich keinen ursächlichen Sinn mehr, das Geschäft weiter zu betreiben.

Ausgaben

Ausgaben sind Abgänge an Zahlungsmittel in einer Abrechnungsperiode. Ein Gut welches ins Lager kommt, verursacht Ausgaben, aber keine Aufwendungen.

Aufwendungen

Aufwendungen sind der Geldwert aller verbrauchten Güter und der in Anspruch genommener Dienstleistungen in einer Abrechnungsperiode. Ein Gut, welches aus dem Lager genommen und verbraucht wird, ist eine Aufwendung, aber keine Ausgabe.

Kosten

Kosten sind Aufwendungen, die auf den eigentlichen Betriebszweck bezogen in der betrachteten Periode anfallen und nicht außerordentlich sind. Unternehmerlohn, Abschreibungen oder Mieten stellen zwar (kalkulatorische) Kosten, aber keine Aufwendungen dar.

Lineare Kostenfunktion

Die einfachste Modellierung ist jene mit einer linearen Kostenfunktion. Die lineare Kostenfunktion ist streng monoton steigend und hat keine Extremstellen.

\(K\left( x \right) = kx + d\)

• Fixkosten einer linearen Kostenfunktion: \( K_f=K\left( 0 \right)=d\)
• variable Kosten einer linearen Kostenfunktion: \(K_v\left( x \right) = K\left( x \right) - K\left( 0 \right) = \left( {kx + d} \right) - \left( d \right) = kx\)

​Illustration zur Veranschaulichung der linearen Kostenfunktion

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Stückkosten einer linearen Kostenfunktion

Die Stückkosten sind die Produktionskosten einer Mengeneinheit. Man unterscheidet zwischen den

• durchschnittlichen Stückkosten, sinken bei höherer Produktion
• marginalen Stückkosten, konstant weil unabhängig von der Höhe der Produktion

Durchschnittliche Stückkosten

Die durchschnittlichen Stückkosten geben die Kosten für die Produktion von einer beliebigen Mengeneinheit an. Auch wenn die Kostenfunktion K(x) selbst linear ist, handelt es sich bei den durchschnittlichen Stückkosten \(\overline K (x) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} + \dfrac{{{K_F}}}{x}\) um keine lineare Funktion, weil der Anteil der Fixkosten d mit der wachsenden Mengen x gemäß \(\dfrac{d}{x}\) immer kleiner wird.

\(\overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x} = \dfrac{{k \cdot x + d}}{x} = k + \dfrac{d}{x}\)

Marginale Stückkosten (Grenzkosten) einer linearen Kostenfunktion

Die marginalen Stückkosten geben die Mehrkosten für eine zusätzliche Mengeneinheit an. Die Grenzkosten sagen, um wie viel sich die Kosten erhöhen, wenn man noch zusätzlich eine (unendlich kleine ≠ 1 Stk) Mengeneinheit produziert, unabhängig davon wie viel man bereits produziert hat.

\(K\left( {x + 1} \right) - K\left( x \right) = \left[ {k \cdot \left( {x + 1} \right) + d} \right] - \left[ {\left( {kx + d} \right)} \right] = k\)

In der Praxis ist der Verlauf der marginalen Kosten meist nicht konstant. Man erhält die Grenzkostenfunktion K' auf jeden Fall durch einmaliges Ableiten der Gesamtkostenfunktion K(x). Dabei fallen die Fixkosten weg, da sie unabhängig von der Stückzahl sind, und Konstante beim Ableiten wegfallen.
\(K'\left( x \right) = \dfrac{{dK\left( x \right)}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = {\left( {k \cdot x + d} \right)^\prime } = k\)

Illustration zur Veranschaulichung der Zusammenhänge

Bild

Ertragsgesetzliche Kostenfunktion

In der Praxis verläuft die Kostenfunktion gemäß einer Funktion 3. Grades. Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist streng monoton steigend, hat keine Extremstellen aber einen Wendepunkt, den man Kostenkehre nennt.

\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)

Für die Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion gilt (ohne Herleitung)

• \(a > 0\) weil für \(x \to \infty \) strebt \(K\left( x \right) \to \infty \)
• \(b < 0\) genauer: \(b = - 3a \cdot {x_{KK}}\)
• \(c \ge 0\) bzw. \(c \ge {b^2} - 3a\)
• \(d \ge 0\) Dies entspricht den Fixkosten und diese sind zumindest Null oder höher. d hat keinen Einfluss auf den Verlauf vom Graph der Funktion, sondern verschiebt diesen nur entlang der y-Achse.
• \({x_{kk}} = - \dfrac{b}{{3a}}\) muss für die produzierte Menge an der Kostenkehre gelten

Degressiver Kostenverlauf

Bis zum Wendepunkt der Kostenfunktion (Kostenkehre) verläuft diese degressiv (Wegfall von Stillstandszeiten, Output steigt bei zunehmenden Arbeitseinsatz … ). Degressiv = negativ, rechts bzw. konvex gekrümmt.

\(K''\left( x \right) < 0\): Erhöht sich die Stückzahl um n%, so stiegen die Kosten um weniger als n%.

Progressiver Kostenverlauf

Ab dem Wendepunkt der Kostenfunktion (Kostenkehre) verläuft diese progressiv (zu viele Arbeitskräfte behindern sich gegenseitig, Mangel an Facharbeitern, es wird zunehmend teurer, eine Mengeneinheit zu produzieren)

\(K''\left( x \right) > 0\): Erhöht sich die Stückzahl um n%, so stiegen die Kosten um mehr als n%.

In der betrieblichen Praxis kennt man die Kostenfunktion mitunter nicht. Aus der innerbetrieblichen Kostenrechnung kann man aber

• für bestimmte Produktionsmengen die zugehörigen Gesamtkosten erhalten
• diese in eine Punktwolke einzeichnen um dann
• mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate

die ertragsgesetzliche Kostenfunktion bilden.

Illustration zur Veranschaulichung der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion

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• Das Betriebsminimum wird als Tangente aus dem Punkt (0|Fixkosten) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion konstruiert. Das Betriebsminimum liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten ihr Minimum haben. 
• Das Betriebsoptimum wird als Tangente aus dem Punkt (0|0) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion konstruiert. Das Betriebsoptimum liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. 

Marginale Stückkosten (Grenzkosten) einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion

Man erhält die Grenzkostenfunktion K' durch einmaliges Ableiten der Gesamtkostenfunktion K(x).

\(\eqalign{ & K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d{\text{ mit }}a > 0;\,\,d > 0; \cr & K'\left( x \right) = 3 \cdot a \cdot {x^2} + 2 \cdot b \cdot x + c \cr} \)

Dabei fallen die Fixkosten K_f (Parameter d) weg, da sie unabhängig von der Stückzahl sind, und Konstante beim Ableiten wegfallen. 

Kennt man die Grenzkostenfunktion und die Fixkosten, so kann man die ertragsgesetzliche Kostenfunktion wie folgt anschreiben:

\(K\left( x \right) = {K_v} + {K_f} = \int {K'\left( x \right)} \,\,dx + {K_f}\)

Dort wo die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K ihren Wendepunkt hat (Kostenkehre) dort hat die u-förmig verlaufende Grenzkostenfunktion ihr Minimum. Die Grenzkostenfunktion K' muss im ganzen Definitionsbereich positiv sein.

Illustration zur Veranschaulichung der kurz- bzw. langfristigen Preisuntergrenze bei einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion

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• Die kurzfristige Preisuntergrenze, das sind Kosten pro Stück, liegt dort wo die variable Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. 
• Die langfristige Preisuntergrenze, das sind Kosten pro Stück, liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat.

Kostenkehre

Die Kostenkehre ist der Wendepunkt der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K(x) (an der Stelle x_KK), bzw. der Tiefpunkt der Grenzkostenfunktion K'(x)

Betriebsoptimum

Das Betriebsoptimum ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze. Es liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten minimal sind bzw die Durchschnittskostenfunktion \(\overline K (x) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} + \dfrac{{{K_F}}}{x}\) ihr Minimum hat. Konstruiert wird das Betriebsoptimum als Tangente aus (0|0) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum errechnet sich durch Nullsetzen der 1. Ableitung der Stückkostenfunktion. Es ist das Minimum der durchschnittlichen Kosten. Das Betriebsoptimum ist in der Regel nicht ident mit dem Gewinnmaximum.
\(\begin{array}{l} \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x}\\ {\overline K ^\prime }\left( {{x_{opt}}} \right) = 0 \end{array}\)

Langfristige Preisuntergrenze

Die langfristige Preisuntergrenze liegt dort wo die Stückkosten minimal sind. Es handelt sich dabei um das Betriebsoptimum x_opt . Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsoptimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten und seine variablen Kosten. Wird ein höherer Preis als die langfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so macht das Unternehmen Gewinn.

Betriebsminimum

Das Betriebsminimum ist zugleich die kurzfristige Preisuntergrenze. Das Betriebsminimum liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die variablen Durchschnittskosten \(\overline {{K_v}} = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x}\) minimal sind. Konstruiert wird das Betriebsminimum als Tangente aus (0|Fixkosten) bzw. (0|d) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion.  Rechnerisch bestimmt man x_min durch Ableiten und Nullsetzen des variablen Anteils von der Stückkostenfunktion.

\(\begin{array}{l} \overline {{K_v}} \left( x \right) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x}\\ {\overline {{K_v}} ^\prime }\left( {{x_{\min }}} \right) = 0 \end{array}\)

Kurzfristige (absolute) Preisuntergrenze

Die kurzfristige Preisuntergrenze entspricht den Stückkosten im Betriebsminimum x_min . Sie liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten \(\overline {{K_v}} = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x}\) ihr Minimum haben. Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsminimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten nicht und das Unternehmen macht Verluste. Die Verluste sind gleich hoch, als ob das Unternehmen gar nichts produzieren würde. Das macht nur Sinn, um kurzfristig Marktanteile zu halten. Wird hingegen ein höherer Preis als die kurzfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so entsteht ein Deckungsbeitrag für die Fixkosten.

Die nachfolgende Illustration veranschaulicht diese Zusammenhänge

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Preisfunktionen von Angebot bzw. Nachfrage

Die Preisfunktion beschreibt den erzielbaren Preis pro Stück. Der Preis pro Stück stellt dabei ein Gleichgewicht zwischen der nachgefragten und der angebotenen Menge dar, wobei dieser Ausgleich am besten in Märkten mit vollständiger Konkurrenz erfolgen kann. Der Preis ist dabei eine Bewertung in Geldeinheiten für die Knappheit eines Gutes. Anbieterseitig lenkt der Preis die produzierte Menge, nachfragerseitig lenkt der Preis die konsumierte Menge des Produkts.

\(P\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\)

• Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der nachgefragten Menge an. Steigt die Nachfrage, so wird das Gut zunächst seltener und es steigt der Preis.
  \({p_N}\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\)
• Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der angebotenen Menge an. Steigt der Preis so wird von den Anbietern mehr von dem Gut produziert wodurch größere Mengen verfügbar werden und der Preis sinkt.
• Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein.

Preisfunktion der Nachfrage bzw. Preis-Absatzfunktion

Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der nachgefragten (=abgesetzten) Menge x_N an.

\({p_N} = {p_N}\left( x \right)\) ... Preis pro Mengeneinheit, in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge

Im Allgemeinen ist die Preisfunktion der Nachfrage streng monoton fallend. (Hoher Preis → geringe Nachfrage)

• Der Prohibitivpreis bzw. Höchstpreis p_H ist jener Preis, bei dem die nachgefragte Menge Null wird \({p_N}\left( {x = 0} \right) = {p_H}\), weil niemand mehr bereit ist, zu einem so hohen Preis eine Produktionseinheit zu kaufen. Der Prohibitivpreis heißt daher auch Höchst- oder Maximalpreis.
• Die Sättigungsmenge x_S ist jene Menge, wo auch zum Preis Null nicht mehr Produkteinheiten am Markt nachgefragt werden \({p_N}\left( {{x_S}} \right) = 0\), weil es keinen weiteren Bedarf gibt, selbst wenn das Produkt verschenkt wird. Grafisch handelt es sich um den Schnittpunkt der Preis-Absatzkurve mit der x bzw. Mengenachse. Die Sättigungsmenge ist also die Nullstelle der Preis-Absatz-Funktion. Nicht jede Preis-Absatzfunktion muss auch eine Nullstelle haben.

Nachfragefunktion

Die Nachfragefunktion ist die Inverse der Preis-Absatzfunktion.
\({x_N} = x_N\left( p \right)\) ... Menge in der ein Gut nachgefragt wird, in Abhängigkeit vom Preis

Die Funktion ist monoton fallend, denn ein tiefer Preis führt zu einer hohen Nachfrage und umgekehrt. In der Praxis hat die Nachfragefunktion Unstetigkeitsstellen, denn die Nachfrage ist bei einem Preis von 9,99 € mitunter aus psychologischen Gründen größer als bei einem Preis von 10,01 €, obwohl de facto kein Preisunterschied besteht.

Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge p=p(x) bzw. von x=x(p) - es handelt sich ja um den selben Funktionsgraph:

Preiselastizität der Nachfrage

Die Preiselastizität der Nachfrage ist ein Maß (ein sogenanntes Reagibilitätsmaß) dafür, um wie viele Prozent sich die Nachfrage der Konsumenten ändert, wenn sich der Preis um einen bestimmten Prozentsatz ändert. Die Elastizität ist somit neben der relativen Änderungsrate und der momentanen Änderung (1. Ableitung) ein Maß dafür, wie sich eine Funktion innerhalb eines Intervalls ändert.

Die mathematische Definition im Falle einer differenzierbaren Nachfragefunktion lautet:
\(\varepsilon \left( x \right) = \dfrac{{{p_N}^\prime \left( x \right)}}{{{p_N}\left( x \right)}} \cdot x\)

Mikroökonomische Definition der Preiselastizität:

\({\varepsilon _N} = \dfrac{{\dfrac{{\Delta {x_N}}}{{{x_N}}}}}{{\dfrac{{\Delta p}}{p}}} = \dfrac{{{\text{relative Mengenänderung}}}}{{{\text{relative Preisänderung}}}}\)

Da die Nachfragefunktion \({p_N}\left( x \right)\) eine fallende Funktion, also k<0 ist, gilt

• die 1. Ableitung \({p_N}^\prime \left( x \right)\) ist negativ
• die Elastizität \(\varepsilon \left( x \right) < 0\) ist ebenfalls negativ, höchstens Null

In der nachfolgenden Übersicht verwenden wir daher nicht das negative \(\varepsilon \) sondern dessen Betrag \(\left| \varepsilon \right|\)

Preisfunktion des Angebots

Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der angebotenen Menge x_A an

\({p_A} = {p_A}\left( x \right)\) ... Preis pro Mengeneinheit, in Abhängigkeit von der angebotenen Menge

Im allgemeinen ist die Preisfunktion des Angebots streng monoton steigend. (Hoher Preis → hohes Angebot)

Mindestpreis

Der Mindestpreis p_Min ist jene Preisuntergrenze, bei der sich erstmals ein Anbieter findet um das Produkt auf den Markt zu bringen.

Angebotsfunktion

Die Angebotsfunktion gibt die Menge in der ein Gut angeboten wird in Abhängigkeit vom Preis an
\({x_A} = x_A\left( p \right)\) ... Menge in der ein Gut angeboten wird, in Abhängigkeit vom Preis

In der Regel handelt es sich um eine monoton steigende Funktion. Es erfordert einen bestimmten Mindestpreis, damit Anbieter anfangen ihre Produkte zu verkaufen. Der Mindestpreis ergibt sich aus den Herstellkosten HK und einer Vertriebsspanne VSP, die der Verkäufer erzielen will. Je höher der erzielbare Preis, umso mehr Anbieter bringen eine immer größere Menge auf den Markt. Zufolge des so entstehenden Überangebots reduziert sich der Preis wieder, da die Verbraucher nicht mehr entsprechend nachfragen und Anbieter wieder aus dem Markt aussteigen.

Illustration zum Auffinden des Marktgleichgewichts

Marktgleichgewicht

Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein. Es gibt keine Über- und keine Unterversorgung.

\({p_A}\left( x \right) = {p_N}\left( x \right)\)

Gleichgewichtspreis

Der Gleichgewichtspreis ist jener Preis, bei dem die nachgefragte und die angebotene Menge auf einem vollkommenen Markt genau übereinstimmen. Es kommt zu keinem Nachfrage- oder Angebotsüberschuss.

Marktpreis ist gleich Gleichgewichtspreis

Die Nachfrager können genau jene Menge kaufen, die sie beim Gleichgewichtspreis kaufen wollen. Die Anbieter können genau jene Menge produzieren und verkaufen, die sie beim Gleichgewichtspreis verkaufen wollen. Es kommt zu keinem Nachfrage- oder Angebotsüberschuss.

Marktpreis ist ungleich Gleichgewichtspreis

Bei einem vom Gleichgewichtspreis abweichendem Preis gibt es entweder eine Übernachfrage (=Unterangebot) oder ein Überangebot.

• Preisobergrenze liegt über dem Gleichgewichtspreis → Überangebot

Es entsteht ein Überangebot am Markt. Die Preisobergrenze wirkt nicht als Schutz der Nachfrager, da sie weit über und nicht unter dem Gleichgewichtspreis liegt. Die Preisobergrenze wird als nicht bindend bezeichnet, wenn sie über dem Gleichgewichtspreis liegt.

Preisobergrenzen bzw. Höchstpreise dienen dem Schutz der Nachfrager vor zu hohen Preisen. Sie führen zu einem Nachfrageüberschuss und zu Warteschlangen vor den Geschäften, da die Produzenten keine wirtschaftliche Motivation haben, zu investieren oder mehr zu produzieren. Dies führt langfristig dazu, dass der Nachfrageüberschuss immer größer wird und immer mehr Konsumenten das begehrte Produkt mangels Angebot nicht mehr kaufen können.

• Preisobergrenze liegt unter dem Gleichgewichtspreis → Übernachfrage bzw. Unterangebot

Es entsteht ein Unterangebot am Markt.

Preisuntergrenzen bzw. Mindestpreise dienen dem Schutz der Anbieter vor Preisdumping durch den Mitbewerber und führen zu Angebotsüberschüssen. Die Preisobergrenze wird als bindend bezeichnet, wenn sie unter dem Gleichgewichtspreis liegt.

Eine Gegenmaßnahme ist die Kontingentierung, d.h. die Angebotsmenge wird durch einen Regulator beschränkt, sodass weniger Produkte auf den Markt kommen. 

• Preisuntergrenze liegt über dem Gleichgewichtspreis → Angebotsüberschuss

Liegen etwa die Löhne über dem Gleichgewichtspreis, so bieten immer mehr Arbeitnehmer ihre Arbeitsleistung am Markt an. Auf Grund der hohen Löhne sind aber weniger Arbeitgeber als beim Gleichgewichtspreis (-lohn) bereit, so viele Arbeitnehmer einzustellen. Es kommt zu Arbeitern ohne Arbeit, also zu Arbeitslosigkeit.

• Preisuntergrenze liegt unter dem Gleichgewichtspreis → Unterangebot

Liegen etwa die Löhne unter dem Gleichgewichtspreis, so bieten immer weniger Arbeitnehmer ihre Arbeitsleistung am Markt an. Auf Grund der niederen Löhne sind immer mehr Arbeitgeber an zusätzlichen Arbeitnehmern interessiert, die sie am Arbeitsmarkt nicht finden, wodurch offene unbesetzte Stellen entstehen. Es gibt mehr freie Stellen, als zu dem niederen Lohn (=Preis) besetzt werden können.

Beispiel: Die Nachfrage- (Demand)- und Angebotsfunktionen (Supply) nach einer Dienstleistung sind gegeben durch:

\(\eqalign{ & {Q_D} = 1200 - 2p \cr & {Q_S} = 1100 + 2p \cr} \)

Wir formulieren die gegebenen Gleichungen so um, dass der Preis p eine Funktion der Menge x ist. Damit wird, so wie wir es gewohnt sind, der Preis auf der y-Achse und die Menge auf der x-Achse dargestellt.

\( \eqalign{ & {Q_D} = 1200 - 2p \to {p_D} = 600 - 0,5 \cdot x \cr & {Q_S} = 1100 + 2p \to {p_S} = - 550 + 0,5 \cdot x \cr} \)

Anmerkung: Würden wir diese Umformung nicht machen, käme natürlich das selbe Resultat heraus, es würden lediglich auf der x-Achse der Preis und auf der y-Achse die Menge dargestellt werden.

Nun setzen wir die beiden Gleichungen einander gleich, um die Gleichgewichtsmenge zu bestimmen:

\(\eqalign{ & 600 - 0,5 \cdot x = - 550 + 0,5 \cdot x \cr & 1150 = x \cr} \)

Im Preis, bei dem sich das Marktgleichgewicht einstellt, stimmen die angebotene Menge und die nachgefragte Menge überein. Diese Gleichgewichtsmenge kennen wir gemäß x=1150, daher bestimmen wir noch den Gleichgewichtspreis, indem wir in die Preis-Absatzkurve bzw. die Angebotsfunktion einsetzen. Es kommt jedes Mal der idente Gleichgewichtspreis von 25 GE heraus:
\(\eqalign{ & x = 1150 \cr & \cr & {p_D}\left( {x = 1150} \right) = 600 - 0,5 \cdot 1150 = 600 - 575 = 25 \cr & {p_S}\left( {x = 1150} \right) = - 550 + 0,5 \cdot 1150 = - 550 + 575 = 25 \cr & \cr & {p_D} = {p_S} = 25 \cr} \)

Bei einem Preis von 25 Geldeinheiten wird eine Menge von 1150 Dienstleistungseinheiten nachgefragt. Es gibt keine Über- oder Unterversorgung.

Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.

Gläubiger

Unter einem Gläubiger versteht man eine natürliche oder juristische Person (Kreditunternehmen) welche einer anderen natürlichen oder juristischen Person, dem Schuldner, temporär Kapital zur Verfügung stellt.

Schuldner

Unter einem Schuldner versteht man eine natürliche oder juristische Person, die von einer anderen natürlichen oder juristischen Person, dem Gläubiger, temporär Kapital gegen Zahlung einer Überlassungsgebühr, den Zinsen, leiht.

Kapital

Das Kapital ist jener Geldbetrag, den ein Kreditgeber einem Kreditnehmer gegen Bezahlung von Zinsen am Anfang der Verzinsungsperiode überlässt.

\(K = \dfrac{Z}{p} \cdot 100\% \)

Zinssatz

Der Zinssatz ist ein in Prozent ausgedrücktes Entgelt für den Kreditgeber, damit dieser temporär auf Liquidität zu Gunsten des Kreditnehmers verzichtet. Für den Zinssatz p gilt üblicherweise: \(0 \leqslant p \leqslant 1\). Der Zinssatz bezieht sich immer auf einen bestimmten Zeitraum, welcher Verzinsungsperiode genannt wird. Eines negativen Zinssatzes bedient man sich, wenn man Bankguthaben für Anleger unattraktiv machen möchte, etwa um sie zu motivieren in andere Anlageformen (Aktien) zu investieren.

\(p = \dfrac{Z}{K} \cdot 100\% \)

Zinsen

Die Zinsen sind ein in Geldeinheiten (€, $,..) ausgedrückter Preis für die Überlassung von Kapital vom Kreditgeber an den Kreditnehmer. Der Kreditgeber verzichtet temporär auf Liquidität und erhält den Zins als Entschädigung für das Risiko, das eingesetzte Kapital nicht vollständig vom Schuldner zurück zu erhalten.

\(Z = K \cdot \dfrac{p}{{100\% }}\)

Zinseszinsen

Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Die Zinsen aus der ersten Zinsperiode werden dem Kapital zugeschlagen und zukünftig mitverzinst.

Zinsperiode

Zinsen werden zu bestimmten Terminen zur Zahlung fällig. Die zeitliche Differenz zweier aufeinanderfolgender Zinszahlungstermine bezeichnet man als Zinsperiode. Übliche Zinsperioden sind ein Jahr oder ein Quartal, also alle drei Monate bzw. viermal im Jahr.

Verzinsungsmodelle

Bei den verschiedenen Verzinsungsmodellen sind immer Geldzahlungen, Zahlungszeitpunkt bzw. Verzinsungsperioden sowie der Zinssatz von zentraler Bedeutung.

Es werden 2 verschiedene Verzinsungsmodelle unterschieden

• Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen einmalig für die gesamte Laufzeit vom Anfangskapital K₀ berechnet. Es wird daher nur das Angangskapital verzinst, die Zinsen selbst werden nicht verzinst.
• Bei der Verzinsung mit Zinseszinsen werden die anfallenden Zinsen am Ende der jeweiligen Verzinsungsperiode dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls der Verzinsung unterworfen. Verbreitete Verzinsungsperioden sind die jährliche, die quartalsweise und die kontinuierliche Verzinsung.

Erlösfunktion

Die Erlösfunktion (auch Umsatz- bzw. Ertragsfunktion), gibt den Erlös E (oft auch R für revenue) in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x an.

\(E\left( x \right) = p\left( x \right) \cdot x\)

In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis p(x) abhängig von der absetzbaren Menge x. Man kann daher ohne weiteres Wissen nichts über den Verlauf der Erlösfunktion aussagen. Aber eines gilt immer: Wenn man nichts produziert, kann man auch nichts verkaufen und somit nichts erlösen. Dh alle Erlösfunktionen müssen bei x=0 Null sein, also E(0)=0

Illustration von der Erlösfunktion und vom Grenzerlös

Ist die abgesetzte Menge null, dann ist auch der Erlös null. Bei geringer Angebotsmenge steigen die erzielbaren Preise und somit auch die Erlöse, bis bei weiter steigender Angebotsmenge zufolge eines Angebotsüberschusses die Preise und somit die Erlöse wieder zu sinken beginnen. Ist letztlich bei der Sättigungsmenge der erzielbare Preis null, so wird auch der Erlös ein zweites Mal zu null. Produziert man über die Sättigungsmenge hinaus, so wird der Erlös negativ.

Erlös bzw. Umsatz:

Der Erlös errechnet sich als Produkt vom Verkaufspreis mal der Anzahl der verkauften Mengeneinheiten.

Erlösfunktion bei vollständiger Konkurrenz

In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis abhängig von der absetzbaren Menge. In einem Polypol, wo viele Anbieter vielen Abnehmern gegenüber stehen, sodass niemand die Marktmacht hat, den Marktpreis wesentlich zu beeinflussen, ist der erzielbare Preis jedoch eine Konstante, also unabhängig von der absetzbaren Menge. Da bei vollständiger Konkurrenz der Marktpreis unbeeinflussbar ist, muss jeder Anbieter die von ihm angebotene Menge anpassen.

\(E\left( x \right) = R\left( x \right) = p \cdot x\)

Illustration von der Erlösfunktion und vom Grenzerlös bei vollständiger Konkurrenz, also bei konstantem weil mengenunabhängigem Preis

Bei konstantem Verkaufspreisen steigt der Erlös linear mit der abgesetzten Menge an. Der Grenzerlös, er ist die 1. Ableitung der linearen Erlösfunktion, ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand p.

Die Erlösfunktion bei einem monopolistischen Anbieter

In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis abhängig von der absetzbaren Menge. In einem Monopol, wo ein einziger Anbieter den Preis und die angebotene Menge einseitig bestimmen kann, wird der Monopolist genau jene Menge anbieten, für die er den gewinnmaximalen Preis erzielt. Den Monopolisten bezeichnet man daher als "Mengenfixierer". Er gibt die angebotene Menge vor, somit ergibt sich der zugehörige Preis, den die Abnehmer bereit sind zu bezahlen.

\(E\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) \cdot x\)

Grenzerlös

Der Grenzerlös ist der Erlöszuwachs, der aus dem Verkauf einer zusätzlichen marginal kleinen Mengeneinheit (dx) resultiert. Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös null ist. An der Stelle wo der Grenzerlös null wird, liegt die optimale Produktionsmenge, bei welcher der maximale Ertrag erwirtschaftet wird.

\(E'\left( x \right) = \dfrac{{dE\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)

Beispiel: 

Gegeben ist die Umsatz- bzw. Erlösfunktion

\(E\left( x \right) = 540 \cdot x - {x^2}\)

Gesucht sind die optimale Produktionsmenge und der sich einstellende Preis und der zugehörige Gesamterlös!

\(\eqalign{
& E\left( x \right) = 540 \cdot x - {x^2} \cr
& 540 \cdot x - {x^2} = 0 \cr
& {x_1} = 0 \cr
& {x_2} = 540 \cr} \)

Die Erlösfunktion ist zwischen 0 und 540 Stück positiv. Bei 540 Stück liegt die Sättigungsmenge. Werden mehr Stück produziert, dann wird der Erlös negativ. Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös E‘(x) null ist:

\(\eqalign{
& E'\left( x \right) = 540 - 2 \cdot x \cr
& E'\left( x \right) = 0 \cr
& 540 - 2 \cdot x = 0 \cr
& 540 = 2 \cdot x \cr
& x = \frac{{540}}{2} = 270 \cr} \)

Die optimale Produktionsenge beträgt 270 Stück. 

\(\eqalign{
& E(x = 270) = 540 \cdot 270 - {270^2} = 72.900 \cr
& p\left( x \right) = \frac{{E\left( x \right)}}{x} = \frac{{72.900}}{{270}} = 270 \cr} \)

Dabei ergibt sich Gesamterlös von 72.900 Geldeinheiten und ein Preis von 270 Geldeinheiten pro Stück

Wenn die Produktionseinschränkungen durch Ungleichungen gegeben sind, die den zulässigen Lösungsbereich umfassen, dann liegt die optimale Produktionsmenge im optimlaen Punkt und dieser liegt dort, wo die Gerade der Zielfunktion den zulässigen Lösungsbereich berührt.

Bild

Im Fall von einem Angebotsüberschuss sinken die Preise, sodass mit jedem zusätzlich verkauften Produkt der Grenzerlös abnimmt. Wird letztlich der Grenzerlös kleiner als die Kosten der Herstellung eines zusätzlichen Produkts, dann bewirkt der zusätzliche Verkauf keine Gewinnsteigerung mehr, sondern im Gegenteil einen Verlust.

Illustration vom maximalen Ertrag

Gewinnfunktion

Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Der Gewinn ist bei kleinen Stückzahlen zunächst negativ, wird beim Erreichen der Gewinnschwelle positiv und wird bei einer großen Stückzahl ab der Gewinngrenze wieder negativ.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)

Grenzgewinn

Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann.

\(G'\left( x \right) = \dfrac{{dG\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)

Break-Even-Point, Gewinnschwelle

Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste.

\(\eqalign{ & G\left( x \right) = 0 \cr & E\left( x \right) = K\left( x \right) \cr} \)

Den Break-Even-Point ermittelt man, in dem man:

• die 1. Nullstelle der Gewinnfunktion ermittelt.
• als den  1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion

Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man

• die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge.
  \(\eqalign{ & x \cdot p = x \cdot {K_v} + {K_f} \cr & x = \dfrac{{{K_f}}}{{p - {K_v}}} = \dfrac{{{K_f}}}{{DB}} \cr} \)

Gewinnzone

Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt.

• 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion
• Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum G_max: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. Mathematisch ist das jene Stelle an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion ihre Nullstelle hat.
• 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze : Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.

Illustration der Gewinnzone

Cournot’scher Punkt

Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)

Man bestimmt daher die Nullstelle der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.

• x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
• y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge

Anmerkung: Ein Unternehmen im Wettbewerb hat auf den Preis keinen Einfluss, es muss den Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage) als gegeben akzeptieren. Für einen Monopolisten ist der Cournot'sche Punkt jene Preis-Mengen Kombination für die der Gewinn maximal ist.

Gewinnmaximum eines Monopolisten

Der Gewinn eines Monopolisten hat bei einer linearen Preis-Absatzfunktion dann sein Maximum, wenn er die halbe Sättigungsmenge zum halben Prohibitivpreis anbietet.

\(C\left( {\dfrac{{{x_C}}}{{p\left( {{x_C}} \right)}}} \right){\text{ sodass }}G\left( x \right) = \max \)

Im Cournot’schen Punkt sind Grenzkosten und Grenzerlöse gleich.

\(K'\left( x \right) = E'\left( x \right)\)

Rentenrechnung

Bei der Rentenrechnung werden die Raten berechnet, mit denen ein vorher angespartes Kapital in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe ausbezahlt wird. Das Prinzip der Rentenrechnung lässt sich besonders gut an der Alterspension erklären: In Österreich zahlen Berufstätige während ihres Erwerbslebens als Teil der Sozialversicherung monatlich in eine Pensionskasse ein. Der Dienstnehmer bezahlt dabei 10,25% und der Dienstgeber 12,55% vom beitragspflichtigen Verdienst. Im Jahr 2020 beträgt die monatliche Höchstbeitragsgrundlage 5.370 € Brutto. Sollte man ein höheres Einkommen erzielen, dann ist dafür kein zusätzliche Sozialversicherungsbeitrag zu bezahlen. Durch die Beitragszahlungen spart der Erwerbstätige einen Pensionsanspruch an.

Erreicht der Erwerbstätige das Pensionsantrittsalter von derzeit 65 Jahren, so wird der Rentenbarwert aus den Einzahlungen der letzten 40 Jahre bzw. 480 Monate ermittelt und in Form einer Rentenzahlung für den Rest des Lebens ausbezahlt, wobei der Rentenbarwert auf die versicherungsmathematisch ermittelte voraussichtliche verbleibende Lebenserwartung gleichmäßig aufgeteilt und in Form von Ratenzahlungen monatlich ausbezahlt wird. Die höchste Pension, ausgenommen für Beamte, beträgt 3.566 € im Jahr 2020, gesetzt den Fall man hat während des gesamten Durchrechnungszeitraumes die jeweiligen Höchstbetragsgrundlage (über)erreicht. Dabei handelt es sich um einen Bruttobetrag, von dem man noch 5,1% Krankenversicherung und die Lohnsteuer abziehen muss. Im Durchschnitt beträgt die Nettopension 78% vom letzten Erwerbstätigeneinkommen.

Illustration Rentenrechnung, vereinfacht

Rente

Unter einer Rente versteht man Zahlungen - die man wiederum als Raten bezeichnet - die in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe erfolgen

Raten

Regelmäßige Zahlungen werden als Rente bezeichnet. Die in gleichen Zeitabständen erfolgenden Zahlungen bezeichnet man als Rate R.

• Vorschüssige Raten werden am Anfang der Zahlungsperiode (z.B. Monatsanfang) geleistet. Die Auszahlung der Darlehenssumme erfolgt bereits um die erste Rate reduziert.
• Nachschüssige Raten werden am Ende der Zahlungsperiode (z.B. Monatsende) geleistet.
• Der Barwert einer Rente, ist der gegenwärtige Wert aller Raten, vor Beginn der Laufzeit.
• Der Endwert einer Rente, ist der zukünftige Wert aller Raten, am Ende der Laufzeit.

Anmerkung: Kennt man nur den monatlichen Aufzinsungsfaktor q_m, weil man monatlichen Raten berücksichtigen muss, so kann man den jährlichen Aufzinsungsfaktor q wie folgt berechnen:
\(q = {q_m}^{12}\)

Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik

Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik besagt: Damit Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten getätigt wurden verglichen können, müssen sie auf einen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst werden.

Barwert und Endwert

Um Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingehen vergleichbar zu machen, bezieht man sie mit Hilfe des Barwerts auf den Anfang des Zahlungsstroms oder mit Hilfe des Endwerts auf das Ende vom Zahlungsstrom.

Barwert

Der Barwert ist ein Maß für den Wert, der einer zukünftigen Zahlung in der Gegenwart entspricht. Der Barwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen auf den Anfangszeitpunkt abgezinst.
​\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = {K_n} \cdot {\nu ^n}\)

Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_n} = 15.000\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {K_0} = \dfrac{{15.000}}{{{{1,1}^5}}} = 9.313,82 \cr} \)

→ 15.000 € die man erst in 5 Jahren ausbezahlt bekommt, haben heute einen Barwert von nur 9.313 €, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.

Endwert

Der Endwert ist ein Maß für den Wert, der einer heutigen Zahlung in der Zukunft entspricht. Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen, welche auf den Endzeitpunkt aufgezinst werden.
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)

Beispiel
\(\eqalign{ & {K_0} = 9.313,82\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {{\text{K}}_n} = {K_0} \cdot {q^n} = 9.313,82\mbox{€} \cdot {1,1^5} = 15.000\mbox{€} \cr} \)

→ Für 9.313,82€ die man für die kommenden 5 Jahre verborgt, erwartet man einen Endwert von immerhin 15.000€ zurück zu erhalten, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.

Barwert einer Rente mit vorschüssigen Raten

Der Barwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, an dem die 1. Ratenzahlung erfolgt.

​\({B_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}\)

\({B_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)

Endwert einer Rente mit vorschüssigen Raten

 Der Endwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung liegt.

\({E_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot q\)

\({E_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)

Barwert einer Rente mit nachschüssigen Raten

Der Barwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode vor der 1. Ratenzahlung liegt.

\({B_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}}\)

\({B_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i}\)

Endwert einer Rente mit nachschüssigen Raten

Der Endwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt an dem die letzte Ratenzahlung erfolgt.

\({E_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right)\)

\({E_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i}\)

Verhältnisgrößen

Bei manchen Fragestellungen ist ein Vergleich aussagekräftiger, wenn man die zu vergleichenden Größen zu deren „Anteil am Ganzen“ in Relation setzt. Der Vergleich von Anteilen erfolgt über den Umweg von Verhältnisgrößen wie Prozent, Promille oder Steigung

• Prozent
  Der Prozentwert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert in Hundertstel an. 1% ist ein Hundertstel des Grundwerts.
• Promille
  Der Promillewert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert, in Tausendstel an. 1‰ ist ein Tausendstel des Grundwerts.
• Steigung
  Die Steigung s (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds v, zur horizontal zugrunde liegenden Strecke h an.

Beispiel:
z.B.: Ein Schulausflug kostet 50€ je Schüler. Eine Mutter verdient 1.000 € / Monat, eine andere Mutter verdient 2.000 € / Monat.

• Absolut kostet der Ausflug zwar jeder Mutter gleich viel (immer 50 €)
• In Anteilen am Einkommen gibt es aber einen wesentlichen Unterschied
  • für die Mutter mit 1.000 € / Monat bedeuten 50 € eine Ausgabe von 5% ihres Monatseinkommens,
  • für die andere Mutter bedeuten 50 € nur 2,5% ihres Monatseinkommen, d.h. ihre finanzielle Belastung ist nur halb so groß, wie die der 1. Mutter

Prozentrechnung

Bei der Prozentrechnung legt man fest, dass dem Grundwert hundert Prozent entspricht. So kann man verschiedene Prozentwerte mit einander vergleichen. Das Prozent-Symbol % ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Prozentwert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 100% so erhält man den Prozentsatz.

\({\text{Prozentsatz = }}\dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\% \)

Dass der Zahlenwert vom Prozentsatz ungleich dem Zahlenwert vom Prozentwert sein kann, veranschaulicht das folgende Beispiel:

Beispiel
In einer 1. Lieferung von 72 Bauteilen sind 28 Bauteile defekt. In einer 2. Lieferung von 70 Bauteilen sind 27 Bauteile defekt. Welche Lieferung hat eine geringere Fehlerrate?

1. Lieferung:
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,88\% \)
28 Teile von einem Ganzen, welches 72 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,88%
Prozentsatz=38,8%; Prozentwert=28 Bauteile; Grundwert=72 Bauteile

2. Lieferung:
\(\dfrac{{27}}{{70}} \cdot 100\% = 38,57\% \)
27 Teile von einem Ganzen, welches 70 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,57%
Prozentsatz=38,57%; Prozentwert=27 Bauteile; Grundwert=70 Bauteile

→ Die 2. Lieferung hat eine geringere Fehlerrate

Promillerechnung

Bei der Promillerechnung legt man fest, dass dem Grundwert tausend Promille entspricht. So kann man verschiedene Promillewerte mit einander vergleichen. Das Promille-Symbol ‰ ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Promillewert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 1000‰ so erhält man den Promillesatz.

\({\text{Promillesatz = }}\dfrac{{{\text{Promillewert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 1000 ‰\)

Umwandlung Prozent in Bruch

Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz - aber ohne dem %-Symbol - in den Nenner eines Bruchs, dessen Zähler 100 ist.

Beispiel
\(7\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{7}{{100}}\)

Umwandlung Bruch in Prozent

Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner und multipliziert anschließend mit 100%

Beispiel
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,8\% \)

Umwandlung Prozent in Dezimalzahl

Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz ohne dem Prozentzeichen als Hundertstel an.

Beispiel
\(17\% \buildrel \wedge \over = 0,17\)

Umwandlung Dezimalzahl in Prozent

Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man die Dezimalzahl mit 100%

Beispiel
\(1,567 \buildrel \wedge \over = 1,567 \cdot 100\% = 156,7\% \)

Investitionsrechnung

Verfahren, um im Vorfeld einer Investition (Anschaffung von Gegenständen des Anlagevermögens unter Einsatz von freiem Kapital) deren wirtschaftlichen Erfolg zu bewerten. Man unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Verfahren.

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

​Die statische Investitionsrechnung dient der Bewertung von geplanten Investitionen in kurzen Zeiträumen, ohne der Berücksichtigung von Zinseffekten und ohne der Berücksichtigung von Zahlungszeitpunkten. Man unterscheidet in

• Kostenvergleichsrechnung
• Gewinnvergleichsrechnung
• Rentabilitätsrechnung
• Return on Investment = RoI
• Amortisationsrechnung (Pay-off-Period)

Kostenvergleichsrechnung

Bei der Kostenvergleichsrechnung vergleicht man die investitionsbedingten Kosten pro Wirtschaftsperiode, um anschließend die kostengünstigste Alternative wählen zu können.

Gewinnvergleichsrechnung

Bei der Gewinnvergleichsrechnung vergleicht man die investitionsbedingten Kosten und die zu erwartenden Gewinne pro Wirtschaftsperiode um anschließend die gewinnmaximale Alternative wählen zu können.

Rentabilitätsrechnung

Bei der Rentabilitätsrechnung berechnet / vergleicht man die Renditen von alternativen Investitionen.

\(R = \dfrac{{\left( {{\rm{Gewinn + Zinsen}}} \right)}}{{{\rm{Anschaffungskosten}}}} \cdot 100\)

Return on Investment

Der Return on Investment (RoI) sagt aus, zu wie viel Prozent das eingesetzte Kapital (Gesamtkapital, investiertes Kapital) in Form von Gewinnen zurückgeflossen ist. Es handelt sich um die Berechnung der Gesamtkapitalrentabilität ohne Berücksichtigung der kalkulatorischen Zinsen.

\(\begin{array}{l} {\rm{RoI}} = {\rm{Umsatzrendite}} \cdot {\rm{Kapitalumschlag}} = \dfrac{{{\rm{Gewinn}}}}{{{\rm{Nettoumsatz}}}} \cdot 100 \cdot \dfrac{{{\rm{Nettoumsatz}}}}{{{\rm{Gesamtkapital}}}}\\ RoI = \dfrac{{{\rm{Gewinn}}}}{{{\rm{Gesamtkapital}}}} \cdot 100 \end{array}\)

Amortisationsrechnung

Bei der Amortisationsrechnung untersucht man die Zeitdauer (Amortisationsdauer, Pay-off-Period), bis das eingesetzte Kapital wieder zurück in das Unternehmen geflossen ist. Die Investition hat sich amortisiert, sobald die Erlöse die Anschaffungs­kosten und die laufenden Betriebskosten decken. Sie beantwortet die Frage nach der Kapitalbindungsdauer bis die Refinanzierung der Anschaffungskosten erfolgt ist.

\({\text{Amortisationsdauer = }}\dfrac{{{\text{Anschaffungskosten}}}}{{{\text{durchschnittlicher Rückfluss pro Zeiteinheit}}}}\)

Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung

Die dynamische Investitionsrechnung dient der Bewertung von geplanten Investitionen in längeren Zeiträumen unter Berücksichtigung von Zinseffekten und Zahlungszeitpunkten. Man unterscheidet in:

• Kapitalwertmethode
• Methode vom internen Zinssatz
• Methode vom modifizierten internen Zinssatz
• Annuitätenmethode

Kapitalwertmethode

Bei der Kapitalwertmethode werden unterschiedliche zukünftige Zahlungsströme durch Abzinsung auf den Zeitpunkt des Beginns der Investition vergleichbar ge­macht. Der Kapitalwert C₀ ist der Wert des gesamten Gewinns einer Investition, abgezinst auf den Zeitpunkt der Investition. Eine Investition ist rentabel, wenn der Kapitalwert positiv ist, wenn also der Barwert der Einnahmen größer ist, als der Barwert der Ausgaben.

\({C_0} = \left[ {\dfrac{{{R_1}}}{{\left( {1 + i} \right)}} + \dfrac{{{R_2}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{R_n}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}} \right] - {A_0}\)

Investitionsvorhaben deren Kapitalwert positiv ist, erzielen eine Rendite, welche höher ist, als der Kalkulationszinsatz und sind daher für den Investor vorteilhaft. Bei einem negativen Kapitalwert bringt die betrachtete Investition hingegen keine Verzinsung in Höhe vom Kalkulationszinsatz. 

Methode vom internen Zinssatz

Die Methode vom internen Zinssatz dient der Beantwortung der Frage, welcher Zinssatz beim Vergleich von Einnahmen und Ausgaben bewirkt, dass die abgezinsten Rückflüsse gleich hoch sind wie die Investition. Es wird also derjenige Zinssatz ermittelt, bei dem der Kapitalwert zu Null wird. Das ist nämlich jener Zinssatz, zu dem das im Investment gebundene Kapital tatsächlich verzinst wird. Die Investition ist dann wirtschaftlich, wenn der so ermittelte interne Zinssatz höher ist, als ein durch ein alternatives Investment erzielbarer Zinssatz (z.B. Veranlagung bei einer Bank) zum Zeitpunkt des Investments.

\(\left[ {\dfrac{{{R_1}}}{{\left( {1 + {i_{{\text{int}}}}} \right)}} + \dfrac{{{R_2}}}{{{{\left( {1 + {i_{{\text{int}}}}} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{R_n}}}{{{{\left( {1 + {i_{{\text{int}}}}} \right)}^n}}}} \right] - {A_0} = 0\)

Der interne Zinssatz ist jener Diskontierungssatz, bei dem sich für eine Investition ein Kapitalwert von Null errechnet. Er entspricht daher der Nullstelle der Kapitalwertkurve, wenn man diese über den Zinssätzen aufträgt.

Methode vom modifizierten internen Zinssatz

Bei der Methode vom modifizierten internen Zinssatz zinst man die Einnahmenüberschüsse auf das Ende der Nutzungsdauer auf und berechnet unter Berücksichtigung vom Anschaffungswert die Verzinsung.

\(\eqalign{ & {A_0} \cdot {\left( {1 + {i_{\bmod }}} \right)^n} = E \cr & E = {R_1} \cdot {\left( {1 + {i_W}} \right)^{n - 1}} + {R_2} \cdot {\left( {1 + {i_W}} \right)^{n - 2}} + ... + {R_{n - 1}} \cdot \left( {1 + {i_W}} \right) + {R_n} \cr} \)

Annuitätenmethode

Eine Investition ist dann wirtschaftlich, wenn die Annuität größer oder gleich Null ist. Dabei wird ein bereits vorab ermittelter Kapitalwert C₀ unter Verwendung des Annuitätenfaktors ANF in Annuitäten a umgerechnet. (Annuitäten sind gleich hohe Zahlungen über einen bestimmten Zeitraum)

\(\eqalign{ & a = {C_0} \cdot AN{F_{n.i}} \cr & AN{F_{n,i}} = \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} \cdot i}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}} = \dfrac{{{q^n} \cdot \left( {q - 1} \right)}}{{{q^n} - 1}} \cr} \)